以有形材料為根本，激活學生無形思維
——“平方數的相差關系”的教學實踐和反思

江蘇興化市大鄒中心小學（225763）

眾所周知，小學生的形象思維能力大于抽象思維能力，如果離開了有形的學習素材，那么培養學生數學思維就成了無本之木。因此，在教學中，教師要牢牢抓住有形的學習素材，引導學生完成外在和內隱的數學思維活動，培養學生的數學素養。下面，以“平方數的相差關系”的教學為例，談談具體的操作方式。

一、回顧舊知，激發參與動力

師（出示平方數：32，52，62，352，642，652）：請讀一讀，并說一說這些數字的含義。

師（揭示課題，出示例子“52-22”）：兩個平方數之間加一個減號，那么這個平方數就建立了相差關系。

師：想一想，我們曾經學過哪一個知識點是將兩個完全相同的數相乘，得到的積就是結果呢？

通過啟發，學生很快想到求正方形的面積就是邊長乘邊長，即兩個數相乘。由此，教師就可引導學生探索平方數的相差關系。

二、展開新知探究，引導概念建構

1.借助格子圖，直觀感知

師（出示一張格子圖，如圖1）：仔細找一找，你能看出4的平方和3的平方的差別是怎樣的嗎？把相差的部分涂上顏色。

圖1

學生的作品：

圖2

2.自主探索

師（出示幾組具有相差關系的平方數：52-32，72-42，42-32，652-352）：選擇其中1到2個算式，在對應的格子圖中表示出這兩個平方數相差的關系，并用顏色涂出這兩個平方數相差的部分。根據等級變形的規律，運用平移、割補等方法，把兩個平方數相差的部分轉化成為規則圖形，并用示意圖表示出來，最后再用一個算式表示。

3.成果交流

學生探索成果（如圖3所示）：

圖3

（學生分組討論，說出自己的設計意圖）

三、引導學生自主感悟數學規律

呈現成果：

圖4

師：在這些等式中，你有什么發現？

學生發現規律：

師：你能結合圖片說出等式左右兩邊式子中數據之間的內在聯系和規律嗎？（如圖5）

圖5

師：這些數字可不可以用字母表示？

生：大正方形的邊長用字母a表示，小正方形的邊長用字母b表示，這樣就可以把這些算式用一般的字母形式表示出來，得到

a2-b2=（a+b）（a-b），如圖6所示。

圖6

【教學思考】

對于小學生來說，在進行數學思維活動時，由于形象思維發展早于抽象思維的發展，因此，需要一些有形的數學信息來作為支撐。因此，在教學中，筆者以有形的學習材料作為根本，激活學生的數學思維。

1.數形結合，提供“可視化”的觀察信息

筆者在這一課中，進行了分層設置，為學生提供“可視化”的觀察信息：第一個層次，在黑板上出示幾組具有相差關系的平方數，然后要求學生進行自主選擇后展開探索。學生借助格子圖這個直觀幾何圖形，就能夠用算式（數）來表示相差部分的大小，由此將數與形有機結合起來，為進一步理解平方數的相差關系做好了鋪墊。第二個層次：將學生的圖示作品展示出來，分小組進行討論交流。在這個交流的過程當中，學生都獲得了有形的信息材料。另外，學生通過展示作品，交流討論，就能夠用完整的語言將自己的選擇和探索的過程，以及結果表達出來，由此提升了學生的數學思維。第三個層次：將學生的作品完整呈現并進行梳理，能夠讓學生獲得完整的有形信息材料，為下一步深入探索并總結規律做好準備。

在這個教學過程當中，通過給學生呈現“可視化”的數學材料，讓學生由此展開自主探索和思考，從而打開數學思維之門。

2.立足感性，設置“可比較”的材料

有比較才有區別，“可比較”的材料能夠幫助學生的思維層層遞進，節節攀升，因此，教師要設置“可比較”的教學素材，給學生提供有效的信息作為比較載體，帶領學生展開自主探索和思考。

我在這一課中進行了如下設置：其一，先給學生呈現自主探索的活動成果，讓每一個學生能夠獲取直觀的感知；其二，讓學生借助觀察和思考，發現這些可視化信息背后的規律，有了這些直觀的形象材料，就激發了學生抽象概括平方數相差關系這一內在規律的動力；其三，對比有形的感性材料，抽象出數學規律。

有了“可比較”的材料，學生就有了充足可靠的有形材料的感性支撐，也就能夠深入數學活動之中，獲得有效的抽象思維的發展。

3.分層活動，完善“可概括”的條件

學生數學概括能力的培養是建立在充分的數學活動的基礎之上的，因此，教師要給學生提供自主探索的數學活動，幫助學生完善概括所需的條件，促進學生進行有效的概括。

在這一課中，我將學生自主感悟平方數相差關系的規律的數學活動分成了四個層次：層次一，直觀呈現學生的成果，提供豐富的感官材料；層次二，引導學生觀察，自主探索平方數相差關系的一般性規律；層次三，讓學生借助數形結合的規律進行比較，讓平方數相差關系的一般性規律更加直觀形象；層次四，引導學生概括，在比較化的感性認知下，抽象出平方數相差關系的一般性規律。

學生數學思維的提升是層層遞進、步步向上的。學生只有通過幾組不同的學習活動，獲取有形的成果材料，同中求異，異中求同，才能促進思維品質和數學素養的提升，這也是完善學生“可概括”條件的關鍵所在。

4.深入經歷，把握“可抽象”的時機

對于小學數學來說，抽象是學習活動的最高階段，其中所經歷的過程，也正是學生在數學活動過程中經驗積累、水到渠成的一個過程。

在這一課中，我為了讓學生能夠抽象出一般性的數學規律，特意讓學生深入數學探究活動過程中，在學生經歷了信息感知、自主觀察、對應互聯三個層次的經驗積累之后，就可順勢讓學生抽象出平方差公式。在這個過程中，學生的思維經歷了從特殊到一般的過程，也經歷了一次完整的數學歸納過程，學生的思維逐步走向豐富和深刻。