透過現象梳緣由 追根溯源理成因
——圓的周長與面積的計算錯例成因溯源

安徽滁州市湖心路小學（239000）

“圓的周長與面積的計算”這部分內容的學習過程是學生對于“圓”的認識從定性觀察、研究到定量觀察、研究的跨越過程。對于這部分知識的教學，教師經常會遇到這樣的問題：學生會說圖形的基本特征，會記和背相關的計算公式，但在具體的應用過程中還是會出現這樣或者那樣的錯誤。此時，教師是抱以“熟視無睹”的態度，還是停下追趕教學進度的步伐，靜心反思？答案當然是后者。錯誤的產生暴露了學生的思維過程，反映了教師教學過程中的紕漏，因此，課堂中生成的錯誤資源是教學中最應把握的關鍵點，值得師生共同反思錯誤根源，找到解決問題的策略。下面筆者結合實際教學中的一些典型錯例，淺談自己的幾點認識。

一、直面現象梳緣由

[典型錯例 1]

求出圖1中圖形的周長。

圖1

[分析與診斷]

產生這種錯誤的學生不在少數，而且這種錯誤總是不能根除，這次因教師提醒避免了錯誤，下次沒人提醒了，同樣的錯誤又發生了。仔細分析，這并不是簡單的粗心所能解釋的。究其原因，一是學生對于周長的概念理解不透徹；二是學生受面積計算的影響，產生錯誤的知識遷移，計算半圓周長時用整圓的周長除以2。

[典型錯例 2]

求出圖2中圖形的周長和面積。（單位：m）

圖2

生1：面積是3.14×25×25+100×50。

師：你這樣做的理由是什么？

生1：用圓的面積加上長方形的面積。

生2：周長是3.14×50+（100+50）×2。

師：你是怎么想的呢？

生2：用圓的周長加上長方形的周長。

[分析與診斷]

首先，在計算組合圖形的面積和周長時，大部分學生更傾向于計算它們的面積，這是因為小學生以直觀形象思維為主，對于直接相加的面積計算更容易理解。周長計算出現錯誤，則是因為學生再次受到面積計算負遷移的影響，想當然地認為圓的周長加上長方形的周長就是組合圖形的周長。對此，教師只需讓學生對照圖形指一指這個組合圖形的周長，便能得到很好的解決。

[典型錯例 3]

在直徑為6米的圓形花壇外圍鋪一條寬1米的小路，小路的面積有多大？

錯誤一：3.14×（8×8-6×6）。

錯誤二：3.14×（7×7-6×6）。

錯誤三：3.14×（6×6-4×4）。

……

原本以為，學生學完“圓環的面積”這一知識之后，只要給出圓環面積的計算公式，找到大圓半徑與小圓半徑，他們就可以直接用公式進行計算了。讓人難以想象的是，這不算難理解的一道題，為什么做對的學生僅占班級總數的17.6%？這個偏低的百分率引起了我的思考：學生的問題到底出在哪？

[分析與診斷]

新課結束后，學生確實記住了計算公式，但從學生的錯誤看來，不僅僅是審題不仔細這么簡單。雖然學生能記住環形面積計算公式，但是解決具體問題中出錯的點卻是弄不清大圓和小圓的半徑到底是多少。如果本題借助幾何直觀，圖文并茂，學生是很容易看出大、小圓的半徑各是多少的。由此可見，學生在腦中將文字轉化為圖形時，出現了偏差，教師在教學時就要先引導學生將抽象的文字轉化成正確的圖形，從而準確解決問題。

[典型錯例 4]

一臺壓路機滾筒長2米，直徑為1.6米，如果它每分鐘滾動10周，一分鐘能前進多少米？壓路面積是多少平方米？

錯誤一：一分鐘前進的米數是1.6×10。

錯誤二：壓路面積是3.14×0.8×0.8×2×10。

[分析與診斷]

遇到這樣的題，做對的學生寥寥無幾，學困生根本是無從下手。小學生以形象思維為主，對于題目中的動態運動過程，他們很難將其“靜止”，更不要說清晰明白所要解決的問題與動態過程中的哪些量有關。在教學中，教師就要先引導學生想象出“一分鐘能前進的米數”與“壓過面積”分別指的是什么，再在實際教學中將“動”轉化成“靜”，促使學生感知轉化前后的數量關系。

二、梳理對策研教學

1.注重首次感知

盡管錯誤、混淆、干擾出現在后續的學習（圓周長、面積的計算）中，教師仍然不能輕視先前的學習，尤其是首次教學周長和面積的概念時，要力求給學生留下正確、鮮明和深刻的印象，以發揮“先入為主”心理定式的積極作用。

在教學“周長”這一概念時，可以讓學生先說說對字面意思的理解，然后結合多種圖形再指一指，數形對比中，學生的理解也就精準了。正如華羅庚所說的“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。

2.注重體驗感悟

教學前的學情分析尤其重要，教師必須順應小學生的思維是由形象到抽象的發展規律，放手讓學生動手操作，教師只需適時點撥，讓其明白：無論是在學習新知時，還是在解決問題時，運用“轉化”的數學思想能將未知的轉化成已知的，從而解決問題。在教學中，先讓學生動手量也好，數也罷，皆符合“數來源于數，量來源于量”。

3.注重比較辨析

學生在探究新知的過程中，除了必要的動手、動腦，更重要的是，在教師的引導和組織下對某一知識點進行辨析。理越辯越明，道越論越清。在辨析的過程中，很容易就能將難點和重點內化、升華，課堂不失精彩，學生興趣濃厚，教師又何樂而不為呢？

針對面積與周長的錯例，還得讓學生去反思，錯誤的“反芻”作用非同一般，它能使數學重難點的教學迎刃而解。

4.注重還原建模

“典型錯例4”恰恰體現了數學與生活的緊密聯系。數學來源于生活，可是如何將生活中的實際問題再次回歸到數學的數量關系中，就得靠學生深厚的數學理解能力及精準的抽象思維能力。教師要引導學生先將“動”轉化為“靜”，再聯系“靜”提煉出其中的數量關系，還要喚醒學生的求知欲望，帶領學生解決生活中的數學問題，建立學好數學的自信，提高解決問題的能力。

三、啟發領悟理成因

課堂是學生出錯的地方，在大班化的教學中，學生的錯誤更是形形色色。學生一旦產生錯誤，教師不能一味地訓斥，而應該站在研究者的高度審視錯誤，追根溯源，然后找準對策，因勢利導，使教學少走彎路，提高教學效率。

1.課前精心預設

課前，教師要充分估計學生可能會產生的各種錯誤，從而做出種種預設。學生容易出錯的地方往往是一堂課的重點或難點之處，因此教師必須精心鉆研教材，研究學生可能會產生哪些錯誤，然后根據學生已有的知識結構精心設計教學過程，針對學生容易出錯之處精心設計行之有效的練習，使概念、定義、公式等新知在第一時間“先入為主”，為學生的后續學習打下扎實的基礎。

2.課中捕捉時機

學生在學習過程中經常會產生許多意想不到的錯誤。如何利用好這些錯誤資源，化弊為利，是每個教師應該考慮的問題。這就需要教師具有良好的教學機智和課堂靈活應變的能力，只要能將學生的錯誤處理得當，就能獲取事半功倍的教學效果。

3.課后分析診斷

對于錯誤，要先查找原因，方能“對癥下藥”。教師可將學生的各種錯誤加以整理、歸類，并記載成冊，形成易錯題庫或“診斷卡”，以便下次教學或其他教師在教學研究同一內容時做參考，形成豐富的教學資源。總之，教學過程一定要從學生已有的知識起點和能力基礎出發，這樣的教學才是有效的。

大道至簡，學生是學習的主人，研究學生的錯誤就是在“讀”學生。正如朱德江老師所說：“感悟學生、讀懂學生是教學的基礎。”對于學生的錯誤，教師應帶著積極的態度去分析原因，以研究錯誤為契機，時刻把握學生的掌握程度，及時調整教學、改變教學策略，切實提高課堂教學的實效性。