撐一支“錯例”長篙，向“除法”更深處漫溯
——由一道錯例對“除法意義”教學進行深度解讀與改進

浙江紹興市柯橋區楊汛橋鎮中心小學（312028）

一提到“除數是小數的除法”，教師腦海中肯定就會閃出一個念頭：學生的錯誤率實在太高了！于是教學時教師都非常重視算理的理解、算法的探索和概括，還會讓學生通過大量的練習熟練掌握“小數除法”的計算方法，進而提高計算的正確率。在這過程中，教師往往忽視對學情的深入分析和“除法意義”的深度解讀。下面，我就從學生的一個錯例入手，談談自己的一些思考。

一、背景，迷“誤”重重應思量！

題目（五年級上冊課堂作業本）：一輛汽車行駛6千米耗油0.75升，1升汽油能行駛多少千米？行駛1千米耗油多少升？

學生錯誤百出：

7.2%錯誤類型“混淆型”——算式正好相反“丟棄型”——只答其一“可惜型”——算式對，得數錯錯誤原型0.75÷6=0.125（升）6÷0.75=8（千米）6÷0.75=8（升）或6÷0.75=8（千米）0.75÷6=（結果錯）6÷0.75=（結果錯）錯誤率52.7%36.6%

我對學生進行了訪談，發現一部分學生理解此題的問題很困難，在老師講解后才能理解題意，明白該怎么解答，但是下次再做類似題目時還是會出錯。我不禁思考：學生為什么經過多次的練習和講解后，還是重復出錯呢？這說明了什么問題？迷“誤”重重！

二、尋因，追根溯源“因”何在？

1.解析教材

對于“除法”這一部分內容，教材采用螺旋式的編排方式，按學生的接受能力分成了4個階段：

第一階段安排在二年級下冊“表內除法”和“有余數除法”。表內除法是學習除法的開始；“有余數除法”是學生學習多位數除法豎式及進一步應用除法解決問題的基礎。

第二階段安排在三年級下冊“除數是一位數的除法”。

第三階段安排在四年級上冊“除數是兩位數的除法”。

第四階段安排在五年級上冊“小數除法”。

認真研究這四冊教材，發現從教材的編寫到一般的教學組織，教師對“除法意義”的理解往往有所偏頗：對除法意義的理解相對比較薄弱，特別是第一階段兩個單元的學習。究其原因，有兩點：第一，對于低年級的表內除法，只要會背乘法口訣就能得出正確答案，95%以上的學生都會計算；第二，低學段用除法解決的問題都是大數除以小數，幾乎沒有學生會錯。因此，在形勢一片大好的情況下，很少有教師會再回頭去分析和解讀教材。

2.解讀學生

對于錯誤“混淆型”：學生不理解題意，不明白問題究竟要求的是什么，但又知道求每份數要用除法，所以就隨意拿兩個數相除。

對于錯誤“丟棄型”：學生用除法解決問題時總是習慣性地用大數除以小數，所以回答了前一個問題后就不知道后一個問題該怎么解答了，又或是學生覺得這兩個問題都是用同一個算式解答。

對于錯誤“可惜型”：算式對，得數錯，此類錯誤相較于前兩類錯誤算是比例偏低的。

3.反思教學

在教學中遇到學生的錯例時，教師如果只是就題論題，沒有引導學生從理解“除法意義”入手的話，就算講得再多，學生還是一知半解，且容易出現錯誤；教學第一階段“表內除法”時，如果沒有強調除法的意義，只要求學生會依樣列式、計算就行的話，學生到了中高年級就很容易出現錯誤。這些錯誤的出現，都體現出教師在教學上存在的不足，因此，教師在教學中要做到循循善誘，讓學生明白“除法”真諦。

三、撐篙，漫溯“除法”更深處……

基于以上分析，在對教材進行深度解讀后，對于改進教學的策略，我提出了以下兩種。

1.系統策劃、主動建構“除法”模型

“小數除法”的學習不是建空中樓閣，在教學除法前，教師需要認真研讀教材的真正用意，系統把握好教材，主動建構“除法”模型，為學生的后續學習打好基礎。

（1）潤物無聲初建模

學生要理解除法，關鍵是理解“分”，尤其是“平均分”。學生只有在頭腦中建立“平均分”的表象才能為除法知識的構建打下基礎。于是，對“平均分”這一課我通過對比教學幫助學生建立平均分的概念，讓學生自然而然地接受除法模型的建立。

【教學片段1】平均分

師（發給每個小組24張圓片和6個小盒子）：把24張圓片平均分成6份，每份是幾張圓片？

（學生獨立思考后回答）

師：一共有多少張圓片？（總數是多少？）分的方法是什么？（平均分的概念是什么？）要解決什么問題？（求什么？）

（學生分小組討論和操作后全班交流）

師:平均分就是使每個盒子里的圓片一樣多。

師：每6張一份，24張圓片可以分成幾份？現在平方分的方法是什么？與剛才的題目有什么異同？（這兩個問題中，平均分的方法和要解決的問題正好是相反的）

師：每6張一份，就是1個6；兩組就是2個6，4組就是4個6；4個6正好是24，也就是24里面有4個6，所以分4份。

……

改進教學后，學生在充分理解平均分的基礎上深刻體會到除法的意義，在大腦中建立了除法的基本模型。

（2）有的放矢固建模

雖然學生在二年級時已經初步接觸了筆算除法，后續教材中也有所滲透，但在課堂教學中，教師更注重結果，而輕視過程。于是我對三年級下冊“除數是一位數的除法”和四年級上冊“除數是兩位數的除法”這兩個單元的教學也進行了改進，旨在讓每一個例題的教學，都能使“計算”與“解決問題”這兩個目標并重。

【教學片段2】“除數是兩位數的除法”的例6

改進1：教師出示情景圖（學生共有612人，每18人組成一個環保小組），問：“可以組成多少組？說一說應該怎樣列式，為什么這樣列式，求的是什么。”一般情況下，教師總是覺得學生一定都會列式，所以很少有教師再問“為什么這樣列式？”這個問題。事實上，確實每個學生都會列式，因為學生都很聰明——這個單元都是學除法，肯定是用除法做，而且題中的總數和每份數也很明顯。然而，雖然學生都會，但他們頭腦中的除法概念并不一定清晰，需要教師在教學中不斷引導和滲透，幫助學生建立除法模型。

改進2：教學算理時結合除法意義?！?1個十除以18，表示把610分成18人一組，可以分成30組，還多出7個十，即70人，18人一組，72人可以分成4組。”這樣的設計使學生在情景中既理解了算理，又鞏固了除法概念。

（3）張弛有度深建模

小數除法是小學階段計算最復雜的一個單元內容，也是學生加減乘除所有豎式計算的最后一個學習內容，對學生今后的學習有著極其深遠的影響。對此，教師既要注重學生運算技能的形成，又要注重學生運算能力的培養，還要注重學生解決問題能力的提升，做到“夯實基礎，發展思維”。

【教學片段3】一個數除以小數

出示情景圖：學生正在編“中國結”，一根拉直的繩子長1.2米，編一個小“中國結”需要0.4米。

師：這根繩子可以編幾個小“中國結”？

師：怎樣列式？為什么用除法？

（學生自主探究后全班交流）

生1（方法一）：利用乘除法的關系直接口算。0.4×3=1.2，所以1.2÷0.4=3。

生2（方法二）：通過數形結合可以看到，1.2有12個0.1,0.4有4個0.1,所以12÷4=3。

2.方法指導，引領除法意義的理解

除法是小學數學學習的重點之一，學生剛接觸時要正確理解除法的意義是有一定困難的，到了高年級，當平均分的份數和每份數都不是整數的時候，學生就更難從除法意義出發去理解題目的意思了。這個時候就需要教師進行方法指導。

（1）數量關系

引導學生根據題意理解“誰是總量？誰是份數？”

如，求“1升汽油可以行駛多少千米?”，用“總量÷份數=每份數”（總路程÷用油量=1升油對應的路程）。

條件1：總量是0.75升，份數是6份。

條件2：總量是6千米，份數是0.75份。

（2）比例關系

路程和用油量是成正比的，六年級的學生可以用比例解決問題。

如，求“1升汽油可以行駛多少千米?”“行駛1千米耗油多少升？”時可以列出：

0.75∶6=1∶（ ）

0.75∶6=（ ）∶1

錯例是一種生成性資源，是對教師改進教學的友情提示。當學生產生錯誤時，教師不要只是打一個紅叉，應該撐著“錯例”這一支長篙，追尋錯誤的根源，重新審視自己的課堂教學，并從學生的角度考慮問題，從學生的問題出發，真正走進學生的內心世界，這樣才能使錯例化腐朽為神奇，使我們的課堂漫溯在精彩紛呈中。