繩桿關聯系統若干問題研究

崔慕添

(錦州市錦州中學 遼寧 錦州 121000)

繩桿關聯系統是高中物理中常見的理想模型.該模型涉及速度、加速度、能量、動量等問題，除加速度問題外，均為高考物理重點內容.繩桿關聯系統也是自主招生和物理競賽的熱點.在研究繩桿關聯系統時，有兩個基本假設作為研究前提：一是繩桿的重力不考慮，二是繩桿的形變量不計.

本文將研究高中物理中幾個典型的繩桿關聯系統模型.

模型一：如圖1所示，A車用輕繩跨過光滑的定滑輪(不計滑輪的質量和摩擦)牽引B物塊向上運動.在某時刻，與A車相連的輕繩與水平面夾角為θ.

圖1 模型一示意圖

模型二：如圖2所示，岸上的人用繞過定滑輪的不可伸長的輕繩拉小船，使小船以v0勻速靠岸.某時刻繩與水平面夾角為θ.

圖2 模型二示意圖

模型三：如圖3所示，長為L的均勻直桿兩端固定著兩個小球A和B, A球在豎直墻壁上運動，B球在水平地面上運動.某時刻，桿與豎直方向的夾角為θ.

圖3 模型三示意圖

1 繩桿系統的速度關系

研究繩桿關聯系統的速度關系時，正確判斷研究對象的實際運動，分清分運動的實際效果是解決問題的關鍵.可以根據運動效果，選擇合適的研究對象.

討論繩桿關聯系統速度問題的文章很多，這里不再重復討論，僅給出確定繩桿關聯系統速度關系的通用方法.

步驟一：對產生兩個作用效果(速度與彈力不在同一直線)的物體，分解其合速度.

步驟二：利用沿繩(桿)方向速度相等，將物體的速度按照沿繩(桿)和垂直繩(桿)方向進行分解.

現根據給出的方法，對文中模型進行討論.

對模型一，A車運動過程中產生兩個效果：一是沿繩子方向拉伸繩子，二是使繩子繞定滑輪逆時針的擺動[1].A車受到的拉力方向左上，合速度方向水平向右，兩者不在同一直線，應分解A車速度.如圖4所示，將A車速度vA分解成沿繩的速度vA1與垂直于繩的速度vA2.利用沿繩方向速度相等，可得

vB=vA1=vAcosθ

圖4 A車速度分解示意圖

對模型二，繩對船的拉力方向左上，船的速度水平向左，兩者不在同一直線上，故對船的速度進行分解.如圖5所示，利用沿繩方向速度相等，有

v0=v船cosθ

圖5 船的速度分解示意圖

對模型三，A球的合速度方向豎直向下，B球的合速度方向水平向右，桿對A，B兩球的彈力方向與A，B兩球的合速度均不在同一條直線上，故A，B兩球的合速度均需分解.將vA分解成沿桿的速度vA1與垂直于桿的速度vA2，將vB分解成沿桿的速度vB1與垂直于桿的速度vB2.如圖6所示，利用沿桿方向速度相等，有vA1=vB1，即

vAcosθ=vBsinθ

圖6 A,B球速度分解示意圖

2 繩桿系統的加速度關系

繩桿系統的加速度并不遵循類似于速度分解那樣的關系.下面，通過對3個典型模型的具體討論加以說明.

對于模型一，如圖7所示，A車的第一個分運動產生兩個加速度，分別為切向加速度aτ和向心加速度an；A車的第二個分運動產生徑向加速度ar[2].如圖8所示，aA可沿著繩方向和垂直于繩方向分解，兩個方向的分量分別為aAcosθ和aAsinθ[3].因此，有

圖7 A車第一個分運動加速度分解示意圖

圖8 A車第二個分運動加速度分解示意圖

B物體的運動方向沿繩，故其加速度

aB=ar=aAcosθ+an

聯立各式，可得

即A車與B物體間的加速度關系滿足

對于模型二，以河岸為參考系，繩與定滑輪相切處為坐標原點，建立如圖9所示的坐標系[4].

圖9 模型二建立的坐標系

取r和θ為參量，則船的坐標可以表示為

x=rcosθy=rsinθ

其中，x,r,θ均是時間t的變量.

因小船水平向左運動，故有y=h.上述兩式等號兩邊同時對時間t求導，并聯立各式，可得

由上述兩式得，小船的加速度

其中，負號表示船的加速度方向沿x軸負方向.

對于模型三，以B球為參考系，A球繞B球做逆時針的圓周運動[2].如圖10所示.

圖10 以B球為參考系，A球運動分解示意圖

規定向右為正方向，設A球相對于B球轉動的速度為v相.根據運動效果，可將v相分解為vA和-vB兩個互相垂直的分量.因此，相對速度大小

設aA和-aB分別為vA和-vB產生的加速度，它們產生合加速度a相.a相具有沿桿和垂直桿兩個效果，加速度分別為an和aτ，如圖11所示.

圖11 以B球為參考系，A球加速度分解示意圖

可求出，aA和aB之間滿足

通過對上面3種典型模型的討論可知，影響繩桿關聯系統加速度的因素包括兩方面：一是關聯系統中物體的速度，二是關聯系統中物體間的距離.需要強調一點，繩桿關聯系統中不存在“沿桿方向加速度相等”的關系.

3 繩桿系統的能量與動量問題

在判別繩桿系統速度關系、位置變化等問題中，由于經常與能量、動量問題相聯系，綜合性非常強.

下面給出一道典型例題，并以此總結此類問題的求解方法.

【例1】如圖12所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點正下方距離為d處.現將環從A處由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，求：

(1)環到達B處時，重物上升的高度h；

(2)若環到達B處時速度大小為v，求此時重物速度大小v物；

(3)環從A處靜止釋放到B處過程中，環克服輕繩拉力做的功W；

(4)環從A處靜止釋放到B處過程中，繩對環拉力的沖量大小I；

(5)環能下降的最大高度H.

圖12 例1題圖

解析：環釋放后，重物由靜止開始先加速上升后減速上升到最高點.環和重物組成的系統機械能守恒.

(1)根據幾何關系有，環從A下滑至B點時，下降的高度為d，則重物上升的高度

(2)環到達B處時，在沿繩子方向上的分速度等于重物的速度，有

vcos 45°=v物

環和重物組成的系統機械能守恒，則有

聯立各式，解得

(3)環從A運動到B的過程中，對環運用動能定理，有

聯立各式，解得

(4)規定向下為正方向，環從A運動到B的過程中，因繩對環拉力的沖量不在豎直方向上，運用動量定理非常麻煩.因此，對重物、環與重物組成的系統分別應用動量定理.

對重物運用動量定理，有

2mgt-I=2m(-v物)-0

對環與重物組成的系統運用動量定理，有

mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

聯立各式，解得

解得

解決繩桿系統能量、動量問題應注意以下幾個方面：一是明確系統機械能守恒定律成立的條件，合理使用整體法與隔離法，正確使用動量定理；二是兩關聯物體的速度大小關系，把握住沿繩或桿方向速度相等；三是明確各物體高度變化關系，相關聯的物體高度變化不一定相等.