桿環共同約束下小球的運動規律探析

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學 江蘇 鎮江 212300)(廣西師范大學物理科學與技術學院 廣西 桂林 541004)

1 引言

在高三復習課教學中，筆者常常遇到這樣一類較難的桿、環共同約束下的小球運動問題：

D．小球a從靜止運動至圓環最低點過程中，輕桿對小球a先做負功后做正功

圖1 例題題圖

2 題目評價

(1)全方位考察了學生對力學綜合知識的掌握和應用

通過對以上題目的分析可知，該題綜合性很強，涉及到了功能關系，運動和力之間的關系，機械能守恒定律等重要力學知識點.要求學生對于以上知識點的概念、規律理解深刻，運用熟練，若作為選擇題的最后一題具有很好的區分度.

(2)能體現出編題者對高考關于能力考察要求的深刻理解和應用

該題充分體現了高考模擬考試對于考生的理解能力、邏輯推理能力、綜合分析能力、應用數學處理物理的計算能力的考察，目標向高考看齊.選項中從定性、定量、最值、排除法4個緯度來設置疑問，需要學生具備全面的物理知識和嚴謹的分析能力，對學生的能力要求極高，應該說是一道好題.

(3)似乎有超綱嫌疑

連接體問題是高考乃至各地模擬試題都喜歡挖掘的題材，越來越多的被各地高考命題組專家、模擬試題命題小組所青睞，然而本題有些選項似乎難度較大，應該是一道大學理論力學試題，有超綱嫌疑，尤其是小球加速度的大小問題是用到桿、環約束關系，甚至達到了競賽的層次要求.

3 學生解題中的合理思維

由于學生對D選項的考慮理由也不夠充分，帶有猜測的成分，另外C選項又不能使用高中物理知識處理，因為是排除法，所以弱化了對C選項小球a加速度的考查，使得這道題目美中不足，留下缺憾.

為此，筆者從大學理論力學的角度和仿真物理實驗兩個手段結合給出定量分析.

4 理論定量分析

4.1 速度、動能定量分析

在小球a,b運動的任意時刻，va,vb與輕桿(或延長線)的夾角均為45°，由于輕桿不可伸長，故小球a,b沿桿方向速度相同.

故

vacos 45°=vbsin 45°

(1)

即

va=vb

(2)

如圖2所示，設小球a運動位置與圓心的連線與水平半徑的夾角為θ.

圖2 小球a運動中

對小球a,b與輕桿組成的系統，由系統的機械能守恒定律得

mgRsinθ-mgR(1-cosθ)=

(3)

由式(2)、(3)得

(4)

取g=10 m/s2，m=1 kg，R=20 m.代入式(4)得

100(sinθ+cosθ-1)=

(5)

(6)

作圖如圖3所示.

圖3 f(x)圖像1

(7)

即

(8)

代入數據得

(9)

作圖如圖4所示.

圖4 f(x)圖像2

vamax=vbmax=

(10)

與圖4十分吻合.

利用“仿真物理實驗”作出小球速度大小隨時間的變化規律圖像，如圖5和圖6所示.

圖5 仿真物理實驗

圖6 |v|-t圖

理論與實驗結果一致.

4.2 加速度定量分析

4.2.1 切向加速度定量分析

式(7)對時間求導得

(11)

整理可得

(12)

(13)

由式(12)、(13)可得小球a的切向加速度

(14)

代入數據得

(15)

作圖：

圖7 f(x)圖像3

4.2.2 向心加速度定量分析

由式(8)可知

(16)

代入數據得

an=10(sinθ+cosθ-1)=

(17)

作圖如圖8所示.

圖8 f(x)圖像4

4.2.3 小球合加速度定量分析

任意時刻小球a的合加速度為

(18)

代入數據得

aa合=

(19)

令

(20)

即

2(sinθ+cosθ-1)(cosθ-sinθ)=0

(21)

整理可得

(22)

(23)

(24)

式(23)可得

tanθ1=1

(25)

式(24)可得

(26)

(27)

即

(28)

(29)

因此可得結論.

(30)

(31)

(32)

作小球a的合加速度圖,如圖9所示.

圖9 小球a的合加速度圖像

圖10 圖9的精細放大圖

利用“仿真物理實驗”輸出加速度的大小隨時間變化的圖像,如圖11所示.

圖11 |a|-t圖

理論與實驗很吻合.

4.3 輕桿受作用力定量分析

如圖12所示，小球a切線方向動力學方程為

mgcosθ-Fcos 45°=maa

(33)

由式(14)、(33)整理可得

(34)

代入數據得

(35)

圖12 小球運動及受力情況

作圖如圖13所示.

圖13 f(x)圖像5

實際上小球b的速度、動能、加速度、輕桿對其作用力變化規律與小球a一模一樣.

5 結束語

桿、環共同約束下小球的運動對高中物理來說較難分析其運動規律，筆者認為，如果教師能夠鉆研該運動模型，熟知其中的理論力學規律，在高中物理知識能夠處理的范圍內帶著規律結果對學生進行定性和適當定量計算方面的指導，培養學生的定性分析能力和邏輯推理能力，對于提高高效物理課堂教學是行之有效的；當然，有興趣的讀者也可以設兩小球的質量不相等，釋放點也可以從圓環最高點或其他位置釋放，桿的長度可以調節等角度去研究，相信可以得到很多有意思的規律.