兩球彈性碰撞次數與它們質量之比的關系研究
——對一道物理競賽題的再思考

文世達 梅 軍 廖秀秀 周詩昊

(武漢市外國語學校 湖北 武漢 430022)

1 題目

如圖1所示，半徑足夠大的光滑圓弧面與一光滑水平面平滑相接，一個質量為m的小球B靜止于水平面上.質量為km的小球A從圓弧面某一位置釋放，到達水平面的速度為v0，并與小球B發生碰撞.假設所有的碰撞均為彈性碰撞.問：要使球A，B能且僅能發生兩次彈性碰撞，需滿足什么條件？

圖1 題目題圖

1.1 分析過程

需要明確的是，B球的速度始終向右，故要發生碰撞，A球也必然向右運動，且A球的速度大于B球的速度.那么A球碰撞后必然要反彈才可能有下一次的碰撞.要使A,B只發生兩次碰撞，需要滿足第一次碰撞后A球反彈且反彈回水平面的速度大于B球第一次碰撞后的速度，以及第二次碰撞后A球的速度小于或等于B球的速度.由于是彈性碰撞，那么在碰撞過程滿足動量守恒和機械能守恒.設第一次碰撞后A和B的速度分別是v1,1和v2,1，第二次碰撞后的速度分別為v1,2和v2,2，則有

kmv0=kmv1,1+mv2,1

(1)

(2)

聯立式(1)、(2)可以解得

第二次碰撞前球A和球B的速度分別是-v1,1和v2,1，同理可以得到

只發生兩次彈性碰撞應滿足

v1,1<0，且-v1,1>v2,1

(3)

以及v2,2>0，且

v1,2≤v2,2

(4)

由式(3)、(4)分別得到

1.2 A球是否反彈的條件

2 兩球只發生n(n≥2)次彈性碰撞的分析

我們還可以進一步思考一下，如果不給定一個具體的數值，而是直接給定常數n，A,B能且只能發生n次彈性碰撞n≥2，需滿足什么條件？能否寫出發生n次彈性碰撞的通式？

2.1 找遞推關系式

(5)

(6)

解得

(7)

(8)

(9)

式(8)可以變換為1+kv1,n+1=1-kv1,n-2v2,n.遞推可以得到

1+kv1,n+2=1-kv1,n+1-2v2,n+1

(10)

將式(9)和式(8)代入式(10)，得到

1+k2v1,n+2=1-k2v1,n+1-

22kv1,n+1-kv2,n=1-k2v1,n+1-

21-k2v1,n+1-1+k2v1,n

即1+kv1,n+2-21-kv1,n+1+1+kv1,n=0

此方程與方程[1]

1+kx2-21-kx+1+k=0

(11)

有共同的本征值.

最后一步用到了以下關系

2.2 兩球只發生n次彈性碰撞的條件

A，B能且只能發生n次彈性碰撞的條件是

又因為

進一步可寫成

所以

即

解得

解得

綜上所述，k應滿足的條件是

2.3 最后一次彈性碰撞后A球是否反彈的條件

2.4 系統在完成所有彈性碰撞后動量變化

我們再來分析一下彈性碰撞的全過程中動量及能量的變化.顯然，全過程中，系統的動能始終是不變的.而每次彈性碰撞A球都給B球一個向右的沖量，這個沖量使B球的動量增加；對于A球，圓弧面對A的凈沖量始終向右，在彈性碰撞過程中B球對A球的沖量向左，故對AB系統來說總動量增加是必然的.

為了研究系統全過程的動量變化，我們不妨引入一個復變函數：

設A=cosθ+cos 2θ+…+cosnθ，B=sinθ+sin 2θ+…+sinnθ，則

[1-cosθ+isinθcosθ+isinθ

1-cosnθ-isinnθ]·

[1-cosθ-isinθ1-cosθ+isinθ]-1=

因此，可以得到

所以

故系統全過程增加的動量為

Δp=2kmv0cosθ+cos 2θ+…+cosnθ=

3 結束語

本文的分析產生于物理競賽的學生中所進行的問題討論，筆者認為，在學生學習物理競賽的過程中，多進行這樣的討論，無論對于提升學生的理論水平、分析能力，還是對于提升學生物理學習的興趣，都能起到較大的推動作用.