等距圓錐螺旋線數理性質的初探

涂德新 姜付錦

(江西師范大學附屬中學 江西 南昌 330046)(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

如果質點沿阿基米德螺線(等速螺線)運動的同時沿垂直于該平面的方向勻速運動, 于是質點的合運動所形成的軌跡就是等距圓錐螺旋線(以下簡稱螺旋線).下面首先用物理方法研究螺旋線的曲率半徑, 接著研究質點在重力的作用下沿光滑螺旋線運動時受到的作用力,并在直角坐標系和自然坐標系中求解,得到了相同的結果.

1 螺旋線的曲率半徑

1.1 建立螺旋線的參數方程

如圖1所示,建立直角坐標系O-xyz, 圓錐的半頂角為α, 螺距為2πl, 一個質量為m的小球從坐標原點由靜止開始沿光滑的螺旋線運動. 重力加速度為g.

圖1 直角坐標系下的圓錐螺旋線

以極角φ為參數可以建立螺旋線的參數方程

x=kφcosφy=kφsinφz=kφcotα

考慮到一個螺距為2πl, 于是

2πlsinα=k2π

可得

k=lsinα

則

x=lsinα·φcosφ

y=lsinα·φsinφ

z=lcosα·φ

1.2 物理方法求曲率半徑

可以求得

曲率半徑ρ與向心加速度an間存在關系

(1)

分析有

其中

可以求得

將相關參量代入式(1)可得

1.3 數值模擬

數值模擬如圖2、圖3所示.

圖2 小球三維空間中的運動軌跡

圖3 曲率半徑與極角關系

2 小球受到螺旋線的作用力

2.1 直角坐標系中求解

小球沿光滑的軌道運動, 其機械能守恒

即

可以求得

(2)

再求二階導數可得

(3)

在這種情況下

對小球寫3個方向的牛頓第二定律

小球受到的作用力為

代入可得

(4)

將式(2)、式(3)代入式(4)并化簡求解得

(5)

其中

A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

B=63sin2α+34sin22α-15sin23α

C=48sin2α+72sin22α

D=16sin2α

2.2 自然坐標系中求解

空間曲線上的某點存在3個向量:切向向量﹑主法向向量和次法向向量.切向向量指向弧坐標的正向, 主法向向量指向曲率中心, 切向向量和主法向向量構成密切平面(曲率平面), 次法向向量與這個平面垂直, 切向向量與次法向向量決定的平面為從切面(直切面).動點的速度和切向加速度均與切向向量平行, 動點的法向加速度沿主法向向量的方向,這3個向量構成的右手坐標系即自然坐標系. 下面求解螺旋線上某點的切向向量A﹑次法向向量B和主法向向量C.

以極角φ為參變量，依照前面的分析有

(sin φ+φcos φ)j+cot α·k

展開得

B=-(2cosφ-φsinφ)cotα·i+

(-2sinφ-φcosφ)cotα·j+(2+φ2)k

C=B×A=

展開得

C=Cxi+Cyj+Czk

其中

Cx=-(2sinφ+φcosφ)cot2α-

(2+φ2)(sinφ+φcosφ)

Cy=(2+φ2)(cosφ-φsinφ)+

(2cosφ-φsinφ)cot2α

Cz=-φcotα

可以對小球寫切線方向的牛頓第二定律, 從法線方向的平衡方程和主法線方向的牛頓第二定律

mgk·A0=maA

mgk·B0=NB

mgk·C0+NC=maC

其中A0,B0,C0分別為切線方向﹑從法線方向和主法線方向的單位向量.

aC為法向加速度

代入可得

可以求得

以及

NC=NC1+NC2

其中

NC2=mgcotα·φ·[(1+φ2)(2+φ2)2+

小球受到的作用力

代入可以求得N2的表達式同式(5)一致.

2.3 數值模擬

2.3.1小球受到的作用力與極角的圖像

如圖4所示, 兩種坐標系中分析結果的圖像完全重合. 可以發現作用力不斷增加, 存在極限值, 分析式(5)可以求得

其中

A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

圖4 作用力與極角的關系

2.3.2 小球受到的作用力與時間的圖像

可以寫成

這個積分涉及到橢圓積分和復變函數，所以時間與極角的關系很難寫成顯性解析式,定積分結果中含有橢圓積分和復變函數

小球運動的時間t與極角φ的關系數值模擬如圖5所示.

圖5 時間與極角的關系圖

考慮到時間t﹑極角φ和作用力N是一一對應的, 可以數值模擬出作用力與時間的圖像如圖6所示.

圖6 作用力與時間的關系圖

3 結語

本文用物理方法求螺旋線的曲率半徑, 過程簡潔, 思路清晰. 用兩種辦法求螺旋線對小球的作用力, 直角坐標系中求解過程簡單明了.自然坐標系中雖然比較復雜, 卻很有意義：小球沿空間曲線運動時, 其速度和切向加速度均與切向向量平行, 法向加速度沿主法向向量的方向, 在從法向向量的方向是平衡的.并且所有的量均可以表示成極角的函數，結果發現兩種方法的計算結果一致.本文還對曲率半徑和小球受到的作用力進行了數值模擬，這對我們的教學研究有一定的借鑒.