磁場的環量：從含時場到穩恒場

李鳳敏

(天津職業技術師范大學理學院 天津 300222)

磁場的環量是描述磁場的一個重要物理量.對于靜磁場或者恒定磁場，磁場的環量由安培環路定理給出，其形式是[1,2]

∮B·dl=μ0Ic

(1)

方程左邊環路積分中的磁感應強度來自于電路中各處電流的貢獻.方程右邊的電流是穿過環路的傳導電流

(2)

對于穩恒情況，電路或者電流是閉合的，電路中的任意地方傳導電流都是相等的.對于開放電路，例如一段在空間運動的帶電直線等，電磁場是隨時間變化的，磁場的環量由全電路的安培環路定理給出

(3)

方程右邊括號中的第二項是位移電流，是電位移通量的時間變化率.如果帶電直線段變成無限長，那么電場磁場都不隨時間變化了，教科書中一般會這樣解釋：此時位移電流消失，全電路的安培環路定理式(3)就變成了穩恒電路的安培環路定理式(1).但是，位移電流是怎么慢慢消失的，一般沒有說明詳細的過程.為了研究清楚其中的細節，有必要從非穩恒情況，例如一段運動的有限長的帶電直線出發，考察從式(3)到式(1)的詳細過程.

1 從非穩態到穩態

如圖1所示，假設電流沿z軸從負的無限遠處向正的無限遠處流動，閉合環路設在原點O處.下面分3種情況討論全電路的安培環路定理：(1)電流到達P1點；(2)電流到達P2點；(3)電流到達無限遠處.

圖1 電流沿z軸從負的無限遠處向正的無限遠處流動

1.1 當電流到達P1點

當電流到達P1點時，傳導電流沒有穿過環路，因此式(3)為

(4)

如圖2所示,在P1(0，0，z)點處取電荷dq(記dq=Q)，其在圓平面上場點(x,y,0)的場強

(5)

圖2 電流到達P1點

該場對以O為圓心，以R為半徑的閉合回路所圍圓面的電位移通量為

積分得

(6)

(7)

從負無窮到P1點的所有運動電荷對該環路的位移電流為

(8)

此時由全電路安培環路定理及位移電流可計算環路上任意點的磁感應強度的大小，根據式(4)及式(8)有2πRB=μ0ID，即

(9)

如圖3所示，利用任意一段載流直導線的磁場公式

(10)

圖3 一段載流直導線的磁場

結果與式(9)完全相同，也就是說環路處的磁場完全由運動電荷產生，而位移電流對磁場的貢獻為零，這一結論與相關文獻[3～6]的觀點一致.

IQD+Ic=0

(11)

1.2 當電流到達P2點

接下來分析電流穿過如圖1所示的回路到達P2點的情況.當電流到達P2處時，Q的電場對圓環平面的電位移通量

(12)

位移電流為

(13)

由于電流到達P2處時有傳導電流穿過環路，因此

∮B·dl=μ0Ic+IQD+ILD+IRD

(14)

式中IQD,ILD,IRD分別代表正在通過回路、回路左邊和回路右邊的電荷對位移電流的貢獻.下面分別對ILD,IRD進行計算.

回路左邊的電荷對位移電流的貢獻可由式(7)積分得

(15)

回路右邊的電荷對位移電流的貢獻由式(13)積分得

(16)

將式(11)、(15)、(16)代入式(14)中得2πRB=μ0ILD+IRD，即

(17)

此結果與式(17)完全相同，再次看到環路處的磁場完全由運動電荷即傳導電流產生，位移電流對磁場的貢獻為零.

圖4 電流到達P2處

1.3 當電流到達無限遠處

無限遠，電流穩定后由式(14)、(15)、(16)有

∮B·dl=μ0λv=μ0Ic

(18)

式(18)即為穩恒電流的安培環路定理，其中的傳導電流是電路中各處位移電流之和.由此我們知道安培環路定理兩邊的來源也是一致的.

2 結束語

從一段運動的帶電直線形成的開放電路出發，通過微觀層次上的電荷運動，討論了從全電路的安培環路定理到恒定情況下安培環路定理的詳細過程.從全電路的安培環路定理回到恒定磁場安培環路定理的關鍵是，對于恒定情況，全電路中各處運動電荷的位移電流之和數值上正好等于傳導電流.希望這一結果對于更好地理解安培環路定理有所幫助.