另辟蹊徑，圓中自有新天地

董琴

幾何因動點產生的最值問題近幾年廣泛出現在中考中，成為熱點之一，也是學生解決問題中的難題之一，初中階段，涉及到“最短”問題的常見有兩個，即：點與點之間是“兩點之間，線段最短”，點與線之間是“垂線段最短”，除了這些外，在很多看似與圓無關的幾何最值問題中，我們可以利用直角、固定的圓周角、圓的定義等找到隱藏的圓模型，轉化為以圓為載體的問題，利用構造法、轉換思想等建立模型解決問題.

因此解決這類問題，關鍵是找到動點的運動軌跡，使得問題雖無圓勝有圓，本文簡單地探究看似無圓的幾何最值問題中如何巧妙地找到圓模型，使復雜的最值問題得以圓滿解決.

模型呈現

問題情境如圖1，P是⊙0外的一點，直線P0分別交⊙0于點A，B，則PA是點P到⊙0上的點的最短距離，PB是點P到⊙0上的點的最長距離.

證明在⊙0上任意取一個不同于點A的點C，連接OC，CP，則有OP< OC+ PC，即OP -OC< PC，由OA= OC，得OP - OA< PC，即PA< PC，從而出線段PA是點P到⊙0上各點的距離中最短的線段.

同理OP+OC> PC，即由OB= OC，得OP +OB>PC，即P>PC.從而得出線段PB是點P到⊙0上各點的距離中最長的線段.

有了這個知識點背景，能使很多最值問題中較難的問題得到了圓滿的解決，因此如何去構造圓也成為了這類問題的關鍵所在.

類型1 定點定長“現”圓形

教材中圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的所有的點組成的圖形叫做圓，根據定義，在解決幾何最值問題過程中，只要能發現某一個動點在變化過程中到同一個定點的距離相等，就可以利用“隱圓”，以這個定點為圓心，定長為半徑作出這個隱藏的圓，在利用圓外一點與圓上一點距離的最值問題或一般幾何最值求解模型解決.

類型2 定線定角“現”圓形

通過以上例題的分析，可以發現，利用“隱圓”構造模型的方法的運用關鍵是找到動點運動路徑為圓的條件，由上述例題可歸納為如下兩類：

兩種動點路徑為圓的條件：（1）到定點距離等于定長;（2）動點與定線兩端點構成直角三角形，以動點為直角頂點.

除了這里中的最值問題可以建立“隱圓”構造模型外，部分路徑問題也可以構造“隱圓”模型，如：《寧波市2018年初中學業水平考試說明》中的復習評估練習（一）填空題18題：

如圖11，半徑為4的⊙0中，CD為直徑，弦AB上CD且過半徑OD的中點，點E為⊙0上一動點，CF上AE于點F.當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為____.

分析 通過CF上AE這個條件，我們不難發現，點F的運動軌跡是以AC直徑的圓弧上，因此通過求圓心角度數和半徑長短，利用弧長公式即可求出路徑長，動態背景下，求最值有一定的難度，若能針對題目的本質特征，合理地畫出“隱圓”，巧妙地利用圓的有關知識找到轉化方向，往往能夠化難為易，化繁為簡.

參考文獻

[1]蔡衛兵，與圓有關的最值問題[J].中學生數學，2015 （18）： 38—39

[2]馮麗.利用數學模型“點到圓的最值距離”來研究動點最值問題——數學解題策略剖析[J].數理化解題研究，2017 （26）： 2-4

[3]劉嵐英，利用構造法巧解數學中的最值問題[J].中學數學，2015 （2）：76-77