還原基本結構 重塑題目原型

陳心紅

幾何學是研究觀實世界中物體的形狀，大小和位置關系的一門學科，立體幾何研究的空間是現實空間，認識空間圖形，可以培養學生的空間想象能力、運用圖形語言進行交流的能力及幾何直觀能力，

本文的思考源于蘇教版數學2必修書本第71頁第20題（以下簡稱為原題）.該題從“補”的角度，將空間圖形還原成基本結構來研究和處理問題，讓讀者從中體會到，抓住基本結構是解決立體幾何問題的關鍵，從而可以使問題的解決得以優化，現將該題呈現如下，

原題設P，A，B，C是球0上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，且P=PB= PC =1，求球的體積和表面積.

分析 很多學生讀完該題后無從下筆，主要原因在于，如何把符合題意的圖形畫出來呢？PA，PB，PC兩兩垂直這個條件怎么用？球心在哪？長度怎么用？半徑怎么求？越想思路越亂，頭腦一片空白，

出現上述現象的原因應該是學生沒有將題意給出的關鍵條件——三條線PA，PB，PC兩兩垂直進行深入分析，且沒有從PA= PB= PC=1的這個條件發現更為重要的隱含信息，更為關鍵是沒有想到立體幾何的基本結構——正方體，及其正方體的性質，即沒有把長度相等、兩兩垂直且有公共點的三條線段構成的幾何體還原成立體幾何的基本結構——正方體，以至于圖形畫不出、條件不會用，

思路 P，A，B，C四點構成的以P為頂點，長度相等，兩兩垂直的幾何體剛好含在棱長為1的正方體中，它們有共同的外接球0（如圖1）.而外接球0的直徑2r剛好為正方體棱長的√3倍，故2r=√3，r=√3/2，從而易得球的體積和表面積，

總結 部分同學在遇到類似的抽象題目時，頭腦不夠清晰，思路不夠發散，局限于題目本身，總想試圖從題目中獲取直接的線索，當題目條件抽象和線索不明時，要多讀幾遍題目，培養一個求解類似題目的習慣：把復雜的問題簡單化考慮，將抽象的題意還原成它的最基本的結構，重塑題目原型，所謂的復雜抽象的題目便可迎刃而解，

變式 棱長為a的正四面體ABCD的四個頂點均在一個球面上，求球的半徑R.

分析 此題初看具有一定的難度，題干短小精悍，解題線索少且較為抽象，一時無法下手，更重要的是，該題對學生的空間想象能力要求較高，需要具備較為扎實的空間幾何的基礎知識儲備，難點在于根據題意的描述，很難快速和準確地將圖形畫出來，以至于無法繼續解題，一方面很多學生不知道球心在哪、怎么畫，另一方面有的學生雖然知道球心的位置，但不會求解，課堂現場教學中，很少有學生能夠計算出正確答案，而本題考察知識點較多，解題中用到數學方法具備典型性，且解法多樣，值得探究，

該思路的運算量較大，對學生的空間想象能力要求較高，外接球的球心假設非常關鍵，如果不能對此作適當假設，并不能將重心和球心很好地銜接，該題也不易解決，該思路需要運用的知識點也較多，用到直角三角形性質、正四面體性質、重心及球心特性等，雖然最后得到答案，但費時費力，實際中操作性較差，

思路2 如果此時能夠換一種思考方式，發散數學思維，去偽存真，題目便露出原型，因正四面體的外接球難以作圖，而想到把正四面體還原成基本結構——正方體，利用正四面體與正方體有共同的外接球的特性，便可巧妙將圖形畫出來（如圖3）.

這樣的解答過程，不僅運算量大大減少，出現計算錯誤的概率也大大減少，而且節省了大量的時間，化繁為簡，出其不意，

思路2 使學生深刻體會到在研究立體幾何時，往往把不好處理的幾何體通過轉化還原成基本結構——長方體、正方體、正四面體、球、正三角形等基礎圖形來解決問題，不僅可以使問題得以解決，而且還可以優化解法，同樣地，我們在遇見其它類似的平面幾何、解析幾何、概率及復雜的函數等問題時候，要能夠及時變換思路，嘗試去探索你認為最不可能的簡單結構，將題目分解成一個個微小部分，創新解題方法，

事實上，在立體幾何的日常學習中，只要注重將基本知識點融會貫通，關注類似問題求解策略的相似性，善于將復雜問題變換為基本圖形結構，則立體幾何問題的輕松求解、空間想象能力和幾何直觀能力的大幅提高，都應該是不難實現的目標，

參考文獻

[1]單墫主編.普通高中課程標準實驗教科書.數學2必修[M].南京：江蘇教育出版社， 2012