一道解析幾何題目的求解攻略

李桂娟

解析幾何的學科特征是“算”，題目一般計算量較大且有一定的技巧性，對學生的意志品質和數學機智都是一種考驗和檢測，需要學生的“精打細算”，品出其中的“幾何味”來，它的第一步是把幾何條件轉化為代數語言，其中的橋梁是三個公式：與線段有關的，用距離公式;與線段比有關的，考慮定比分點的坐標公式;與角有關的，嘗試斜率和夾角公式，這是基本點，一經轉化，解析幾何問題就成了方程或者函數問題，譬如，討論一元二次方程根的情況，解二元二次方程組，求代數式的最大值或最小值，等等，而解析幾何的解題機智，主要表現在如何選擇合理的運算路徑上，也就是坐標法、向量法和綜合運用幾何性質推演這三種運算的選擇上.

1 問題的呈現

這是過焦點的直線被圓錐曲線截得的弦被焦點分成線段比，同時已知直線的傾斜角，求圓錐曲線的離心率問題，本題可寫出直線方程，通過聯立橢圓和直線方程，采用三個公式解答，這是通性通法，但運算量較大，讓不少學生望而卻步;也可利用橢圓的第二定義將問題轉化為平面幾何圖形的性質進行探究，但是現行人教A版教材只把橢圓的第二定義當作例題處理，明顯淡化了橢圓的第二定義及其應用，難道就拿此題束手無策了嗎？能否找到解決此類問題的捷徑？因此解析幾何的解題機智該派上用場了，需要尋求有效的解題策略.

2 問題的解決

3 問題的拓展

從母題的求解過程來看，融入了解決三角形問題的基本策略：第一步，引入變量，設邊設角;第二步，利用正弦定理、余弦定理、面積公式建立起待求值關于所設變量的函數，或待求值關于所設變量的方程;第三步，基于函數與方程思想解決問題，母題利用了兩次余弦定理，根據兩個角互補，則這兩個角的余弦值互為相反數來建立等量關系，通過解方程獲解，眾所周知，解析幾何的基本思想，是用代數方法研究幾何問題，但是，事物都是一分為二的，如果過分強調某一種方法，必然會使學生形成思維定勢，

從方法論的角度來講，就是轉換視角，常態方案不行，換一個方案就行了;這種說法與思路不通，換一個說法就通了;在一個領域內繁雜的問題，換一個領域就簡單了，如若不是這樣，靠什么考查能力？所謂試題的創新，本質上是視角的轉換，我們的解題教學，就是要用創新應對創新，用轉換應對轉換，

從類比所得的結論來看，橢圓和雙曲線的離心率只差一個符號，形式上非常對稱，而拋物線的離心率等于1，只需令雙曲線的離心率等于1，即得拋物線的結論，就如同把拋物線看成雙曲線的一支，非常奇妙，這不得不讓人感嘆數學之奇，數學之美，

需要指出的是，直線必須要過圓錐曲線的焦點，也就是線段AB必須是焦點弦，事實上，結論中出現了三個量：直線的傾斜角a、焦點分弦AB所成的比λ以及圓錐曲線的離心率e，根據方程的思想，只要已知其中任意兩個量，就能求第三個量.

4 結論的應用

5 策略的反思

怎樣思維比思維什么更重要，利用其它領域的方法來解決這個領域的問題，利用解三角形的眼光看待解析幾何問題，對學生的思維產生的是一種良性刺激，母題的解法抓住了形的特征，在充分分析圖形特征的基礎上，引入了邊變量，借助余弦定理的兩次運用，建立起關于邊變量的方程，采用“設而不求法”，通過解方程輕松獲得問題的答案，此解法體現了數形結合思想、函數與方程思想，避開了解析幾何中的坐標與方程的繁瑣運算，減少了運算量，而且思路清晰，過程優美，同時，靈活應用解三角形的策略推出圓錐曲線離心率的統一公式，不僅有效地鞏固了知識，而且使學生感慨公式的強大致簡功能，數學理性精神給以數學結論探尋的動力，數學結論是數學理性精神的結晶，數學結論的應用更是數學理性精神的魅力和威力所在，精彩結論來自不斷的探索與反思，學會思考、善于變式，使自己的思維處于一個“流動”的狀態，能從一個問題的“生長點”、一個“母題”、一個“題根”出發，通過不斷地感悟與聯想、反思與提煉，調整與優化，自動自發地拓展出更多的新穎結論來，是教師帶領學生一起打造智慧課堂的有效途徑.