二次曲線“冪定理”的一個幾何模型構建

趙臨龍

兩千多年前，歐幾里得（Euclid，公元前330-275）的《幾何原本》問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，歐幾里得的《幾何原本》原始用希臘文寫成，后來被翻譯成多種文字.1255年左右，坎帕努斯（Campanus of Novara，約13世紀初-1296）參考數種阿拉伯文本及早期的拉丁文文本，重新將《幾何原本》譯成拉丁文.1482年，《幾何原本》正式以印刷本的形式在威尼斯出版，這是西方最早印刷的數學書.[1]《幾何原本>第三篇的第35個和第36個命題，為著名的“圓冪定理”，[2]

在幾何中，圓冪定理成為人們研究線段關系的重要定理，因此人們將圓冪定理引入到二次曲線中，探討二次曲線“冪定理”的線段關系式，

阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262-190年）的《阿波羅尼奧斯圓錐曲線論》（共8卷），前4卷最早由敘利亞人希姆斯（Hilal ibn Abi HilalaIHimsi，卒于883或884）譯成阿拉伯文，第5-7卷由塔比伊本庫拉（Thabit ibn Qurra，約公元826-901年）從另外的版本譯成阿拉伯文.1537年，第1-4卷的拉丁文譯本由J.B.門努斯（Menus）在威尼斯出版;1661年，第5-7卷最早的拉丁譯本的譯者是A.埃凱倫西斯（Echellensis）及G. A.博雷利（Borelli），在佛羅倫薩出版，《阿波羅尼奧斯圓錐曲線論》（第3卷），命題17、命題23，分別討論了橢圓和雙曲線的相關的“冪定理”，[3]但沒有涉及到拋物線冪定理，

命題1（中心二次曲線冪定理） 過平面上一個定點P，任作一直線與中心二次曲線r交于D，E兩點，過r的中心0作平行于PD的直線交r于點PD，則PE·PD/OK2為定值（這里PD，PE表示有向線段的數量）.

1891年，科克肖特（Cockshott）、沃爾特斯（Walters）著《圓錐曲線的幾何性質》，給出拋物線的冪定理，[4]

命題2（無心二次曲線冪定理） 過平面上一個定點P，任作一直線與無心二次曲線r交于D，E兩點，過r的焦點F作平行于PD的直線交橢圓于K1，K2，則PE·PD/k1k22為定值（這里PD，PE表示有向線段的數量）.

因此，二次曲線統一的“冪定理”形式，引起人們的注意，但文獻[5-10]基本上都是從代數形式，并沒有從幾何上給出統一“冪定理”形式，對于一般二次曲線統一的“冪定理”的幾何模型還沒有完全建立，對二次曲線“冪定理”的內在結構未能很好認識，使二次曲線冪定理的應用受到極大影響.

1 橢圓的冪定理

定理1（橢圓的冪定理）設點P為不在橢圓r（其中橢圓中心為點0）上的一點，過點P的直線PAB，PCD分別與橢圓相交于點A，B，C，D，EOF與GOH分別為橢圓r中平行于兩直線PAB，PCD的直徑，證明：|PA|·|PB|/|PC|·|PD|=|EF|2/|GH|2

2 雙曲線的冪定理

定理2 （雙曲線的冪定理）

3 拋物線的冪定理

定理3（拋物線的冪定理）

4 二次曲線冪定理的統一形式

定理4（二次曲線的冪定理）

參考文獻

[1]（希臘）歐幾里得著，蘭紀正，朱恩寬譯.歐幾里得一一幾何原本[M].西安：陜西科學技術出版社，2003

[2]方亞斌.幾何名題衍生高考題[J].中學數學雜志，2012 （3）： 49-53

[3]（英）阿波羅尼奧斯著，朱恩寬，張毓新，張新民等譯.圓錐曲線論（1-4卷）[M].西安：陜西科學技術出版社，2007

[4]（英）A.科克肖特，F·B·沃爾特斯著，蔣聲譯，圓錐曲線的幾何性質[M].上海：上海教育出版社，2002

[5]申建春.從圓冪定理到圓錐曲線冪定理[J].中學數學，1989 （2）：27

[6]朱連芳.圓冪定理在橢圓上的推廣[J].遼寧大學學報（自），1994，21 （2）：24-27

[7]陳波.從圓冪定理到圓錐曲線冪定理[J].數學教學，1996 （5）：42-45

[8]呂子梁.圖冪定理在圓錐曲線中的推廣應用[J].中學數學教學參考，1996 （12）（下）：42

[9]李超英.圓冪定理在圓錐曲線上的推廣[J].中學數學月刊，2005 （11）：32-33

[10]鄭觀寶.圓錐曲線的“冪定理”[J].數學教學，1997 （6）：36-37