圓錐曲線“易錯問題”剖析

■江蘇省沭陽高級中學

本文針對圓錐曲線中常見的易錯、易混、易忘的典型問題進行錯解剖析和警示展示,希望能引起同學們的高度重視。

易錯點一、忽略圓錐曲線定義中的隱含條件

例1 已知F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當a的值為3和5時,點P的軌跡分別為( )。

A.雙曲線和一條直線

B.雙曲線和一條射線

C.雙曲線的一支和一條直線

D.雙曲線的一支和一條射線

錯解：依題意得 F1F2=10,當a=3時,2a=6＜ F1F2,故點P的軌跡為雙曲線；當a=5時,2a=10=F1F2,故點P的軌跡為一條射線。故選B。

剖析：錯解忽略了雙曲線定義中的隱含條件“到兩定點距離差的絕對值小于兩定點間的距離”,依題意得 F1F2=10,當a=3時,2a=6＜ F1F2,且PF1-PF2=6＞0,點P的軌跡為雙曲線的右支；當a=5時,2a=10=F1F2,故點P的軌跡為一條射線。故選D。

警示：注意橢圓、雙曲線和拋物線定義中隱含條件的限制。

易錯點二、忽略橢圓標準方程=1中的隱含條件a2≠b2

剖析：錯解忽略了橢圓標準方程中a＞0,b＞0且a2≠b2這一限制條件,當a=b＞0時表示的是圓的方程。6＜k＜8且k≠7,則實數k的取值范圍為(6,7)∪(7,8)。

警示：準確理解橢圓的定義,明確橢圓標能減少解題過程中的失誤,從而保證解題的正確性。

易錯點三、忽略橢圓或雙曲線焦點所在位置的討論

警示：在確定橢圓或雙曲線的標準方程時,一定要注意焦點所在的位置,當位置不確定時要分類進行討論。

易錯點四、參數法求動點軌跡方程忽略“完備性與純粹性”

例4 已知曲線C:y=x2-2x+2和直線l:y=kx(k≠0),若C與l有兩個交點A和B,求線段AB中點的軌跡方程。

剖析：消元過程中,由于兩邊平方,擴大了變量y的取值范圍,進而擴大了x的取值范圍,故應對x,y加以限制。在錯解的基礎

結合③④消參且探究參數的取值范圍進而確定x,y的取值,則有x＞2,y＞2。

所以所求軌跡方程是x2-y2-x=0(x＞2,y＞ 2)。

警示：若動點P(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們可稱這個變量為參數,建立軌跡的參數方程的方法叫作參數法。參數法在求曲線方程時一定要合理選擇參數且研究參數的范圍對橫、縱坐標的限制作用,這樣求得的方程可保證它的“完備性”和“純粹性”。

易錯點五、最值求解中忽視圓錐曲線自身范圍的制約

剖析：錯解中“當大值”這一步的推理是錯誤的,沒有考慮橢圓方程中y的取值范圍,事實上,由于點(x,y)在橢圓上,所以-b≤y≤b,因此在求d2的最大值時,應分類討論。

警示：求解圓錐曲線中的最值問題,應準確把握圓錐曲線的幾何性質,構建目標函數化歸二次函數在區間上的最值,借助對稱軸和區間的關系合理分類是正確解題的前提,應做到步步有依據,這樣才能避免出錯。