淺談解析幾何中的定點、定值及探索性問題

■河南省南陽市鎮平縣第一高級中學

考綱解讀：解析幾何中的定點、定值及探索性問題往往以解答題的形式出現,是高考解析幾何命題中的考查重點。此類問題,一般以橢圓或拋物線為背景,深入考查直線、圓、圓錐曲線及直線和圓錐曲線的位置關系等相關知識。試題難度較大,不僅要掌握好基本知識點,更要在解題思路方法上多加總結。代數方程是解題的橋梁,注意數形結合、分類討論、化歸與轉化、函數和方程等數學思想方法的運用。

考向一、定點問題

(一)常見解法

(1)引進參數法。設定點坐標,根據題意選擇參數,建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數無關,故得到一個關于定點坐標的方程組,以這個方程組的解為坐標的點,即為所求定點。

(2)特殊到一般法。從特殊位置入手,找到定點,再證明該定點與變量無關。

(二)應用舉例

例1 已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有 FA =FD 。當點A的橫坐標為3時,△ADF為正三角形。

(1)求C的方程。

(2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個公共點E。證明:直線AE過定點,并求出定點坐標。

所以拋物線C的方程為y2=4x。

(2)由(1)知F(1,0),設 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD＞0)。

因為FA =FD ,則x0+1=xD-1,由xD＞0 得xD=x0+2,故D(x0+2,0)。

所以直線AE過定點F(1,0)。

考向二、定值問題

(一)常見解法

(1)特殊方法。通過考查極端位置探索出“定值”是多少,然后再證明這個值與變量無關。如果試題以客觀題的形式出現,特殊方法往往比較容易奏效。

(2)引進變量法。具體步驟為:

①引入變量。選擇適當的動點坐標或動直線的斜率為變量。

②構建函數。把要證明為定值的量表示成上述變量的函數。

③推導定值。把得到的函數化簡,消去變量得到定值。

(二)應用舉例

(1)求橢圓C的方程。

(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸,直線l與橢圓C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M。證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

考向三、探索性問題

(一)常見解法

(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化。其步驟為:假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在,用待定系數法設出,列出關于待定系數的方程組,若方程組有實數解,則元素存在；否則,元素不存在。

(2)解決是否存在點的問題時,可依據條件,直接探究其結果,也可以舉特例,然后證明。

(3)解決是否存在直線的問題時,可依據條件尋找適合條件的直線方程,聯立方程消元得出一元二次方程,利用判別式得出是否有解。

(4)解決是否存在最值的問題時,可依據條件,得出函數解析式,依據解析式判定其最值是否存在,然后得出結論。

(二)應用舉例

(1)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m,n表示)。

(2)設O為原點,點B與點A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N。問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q的坐標；若不存在,請說明理由。

故在y軸上存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ,點Q的坐標為