淺析“用頻率估計概率”課程的教學策略

虎永強

（寧夏回族自治區銀川市永寧縣望遠鎮銀川三沙源上游學校，寧夏 銀川）

在初中數學知識體系中，與概率相關的知識是比較獨特的。這部分知識一方面與現實生活聯系緊密，另一方面對學生的思維品質提出了較高的要求。這部分知識需要的是嚴密的邏輯推演能力、基于此的數據計算能力以及一定的形象分析能力。“用頻率估計概率”是北師大版九年級數學上冊教材第三章第二節的教學內容。這一章是關于概率的知識。這一章的知識和同版本七年級下冊第六章的知識相關。因此，在講授“用頻率估計概率”課程時應當首先復習與之相關的已學知識。

一、復習與新課程相關的已學內容

在復習七年級下冊第六章的知識時，要重點讓學生回憶、再現和理解頻率和概率兩個概念之間的關系，即二者之間的聯系和區別。既可以讓學生翻閱七年級下冊的教材重讀相關章節，也可以直接提問或讓能迅速回憶起相關知識的學生主動回答這個問題。在這個過程中，可以讓有不同意見的同學進行補充。

當學生對頻率和概率的知識進行了回憶后，教師可以進行如下總結：第一，頻率就是不確定事件A發生的次數m與總試驗次數n的比值。頻率可以用來表示不確定事件A在下一次試驗中發生的可能性。第二，當試驗次數越來越多時，m/n的值即頻率會越來越接近于某一個固定值。這個固定值就是概率。概率同樣可以用來表示不確定事件A在下一次試驗中發生的可能性。第三，頻率和概率的聯系是：在試驗次數接近于無限次時，頻率無限接近于概率。第四，頻率和概率的區別是：當試驗次數不同時，頻率可能不同，而概率是恒定不變的。第五，有些不確定事件的概率是可以進行計算的，如等可能事件；而有一些不確定事件的概率是無法進行計算的，只能用頻率估計概率。進行上述總結，可以讓學生明確頻率和概率的關系，為之后的教學進行鋪墊。

二、以問題啟發學生思考如何“用頻率估計概率”

1.拋出需解決問題，設置引導性問題

先拋出教材中的“估計紅白球比例”問題，讓同學們進行思考：

一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同。如果不將球倒出來數，那么你能設計一個試驗方案，估計其中紅球和白球的比例嗎？

在給出問題后，教師可以通過由淺入深地設置問題以引導學生進行思考，如：

第一，什么是不確定事件？“估計紅白球比例”問題中的不確定事件具體指什么？

第二，等可能事件的特征有哪些？

第三，“估計紅白球比例”問題中的不確定事件是等可能事件嗎？

第四，應該怎樣設計試驗來計算“估計紅白球比例”問題中不確定事件的頻率呢？

2.引導性問題的設置目的及解釋

提出上述四個問題的目的在于：

第一，讓學生深化對不確定事件的理解。在“估計紅白球比例”問題中，不確定事件是指從袋中摸出一個球為紅球或摸出一個球為白球。

第二，讓學生理解等可能事件的特征，進而明確就已學知識而言，只可以計算等可能事件的概率。等可能事件的特征有兩點：一是一個試驗的所有可能的結果有n種，每次試驗有且只有其中的一種結果出現；二是每種結果出現的可能性相同。

第三，讓學生理解“估計紅白球比例”問題中的不確定事件不是等可能事件。在“估計紅白球比例”問題中，從袋中摸出一個球為紅球為不確定事件。按照等可能事件的兩個特征進行比對會發現：第一，在摸球試驗中，所有可能的結果有2種，即紅球或白球。每次從袋中摸球或者是紅球或者是白球，結果只可能是二者之一。這一點與等可能事件的第一個特征相符。第二，從袋中摸出紅球和白球的可能性是否相同是不確定的。因為袋中紅白球的具體個數是不明確的，這就使得每次試驗摸出紅球和白球的可能性存在不確定性。這一點與等可能事件的第二個特征不相符。因此，“估計紅白球比例”問題中的不確定事件不是等可能事件，無法計算其概率。

第四，在前述三個問題的鋪墊下來解決“估計紅白球比例”問題。在設計試驗時，可以讓學生參考七年級下冊第六章第二節開篇的試驗。根據這個試驗可以做如下設計：

從袋中摸出一個球并記錄下球的顏色為1次試驗。以10n次試驗為一組，當n=1，2，3，……時分別計算摸出紅球的頻率、摸出白球的頻率、紅白球的比例。在此基礎上，估計紅白球在下一次試驗中出現的概率以及紅白球的比例。試驗需要的記錄表格可以設計成如下樣式：

三、需要注意的問題

第一，通過上述內容可以看出，學生對于基本概念的理解對于理解問題和解決問題是十分重要的。在解決“估計紅白球比例”問題時，涉及對“不確定事件”“頻率”“概率”“等可能事件”等概念的理解。在此過程中，需著重理解各個概念間的聯系和區別。可見，在學生學習數學的過程中對于基本概念的理解是十分重要的。因此，在教學過程中，要著重強調對數學基本概念、基本原理、基本方法的理解。

第二，要重視通過設置問題對學生進行啟發式教學。當學生面對“估計紅白球比例”問題無從下手時，教師就應當將這個問題分解成幾個具有難度梯度和遞進關系的小問題，逐步地啟發學生從基本概念入手，一步一步地接近需要解決問題的核心。這樣可以緩解學生對于數學問題的畏難心理，培育學習興趣，進而培養數學思維。在這個過程中，教師需要能夠準確地預估學生在解決目標問題時可能會遇到的“瓶頸”，以此為根據設置具有啟發性的問題，這樣才能發揮啟發式教學的效果。