解后反思，向解題要效率

翁升枚（福建省莆田第六中學，福建 莆田）

為研究高中生解后反思的實際情況，筆者調查了本地兩所一級達標學校、一所非達標校高中學生的解后反思習慣，得到如下數據：有12%的學生會預習新課；28.2%的學生課后會主動地反思總結；23.4%的學生會對錯題進行反思；29.8%的學生能主動做數學糾錯本……調查結果表明學生解后反思的比例較低，解題思維大多在低層次上徘徊，學生較少參與到數學的思維活動過程中，沒有機會根據自己的認知沖突引發思考，長此以往很難發展學生的數學能力.本文擬從研究所得，結合筆者的教學實踐談談如何在解后反思中提高解題效率．

一、思“知識”

一個經過冥思苦想的問題得到解決后，筆者注意培養學生反思的習慣，引導學生通過反思去體驗“發現”數學概念、定理、公式以及涉及的數學思想方法的過程．這看似浪費了時間，但可以有效地幫助學生理順知識網絡體系，一方面可以促使學生建立知識的縱橫聯系，使其知識系統化；另一方面可以培養學生反思意識，積累反思經驗，提高數學學習的效率．

案例1（2016年高考課標卷Ⅰ·理20）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C、D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M、N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P、Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

反思1：本題涉及哪些知識點——圓、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關系、曲線的軌跡方程、弦長問題、取值范圍等；

反思2：本題應用了哪些公式、定理——直線與圓錐曲線弦長、韋達定理等；

反思3：求曲線的軌跡方程常用的方法——直接法、定義法、相關點法、參數法；

反思4：與曲線有關的幾何性質——平行、垂直關系、圓的幾何性質、對稱性或求對稱曲線等；

反思5：直線方程的常見形式——設過點B（1，0）的直線l的方程為 y=k（x-1）或 x=my+1；

反思6：求直線與圓錐曲線的相交弦的弦長和求直線與圓的相交弦的弦長的方法一樣嗎？

反思7：求參數的取值范圍問題的常用方法——不等式法、函數最值法；

反思8：解題中用到了哪些數學思想方法——數形結合、分類討論．

數學教育家波利亞說：“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一個重要而有效益的方面．”學生解題完成后，對整個解題活動進行深層次的思考，能清晰、全面、嚴謹地理解概念、公式、定理，進而達到融會貫通．通過反思，也能促使學生在數學學習過程中產生解決問題的愉悅感，增強克服困難的信心和毅力．

二、思“多解”

有些學生雖然掌握了一定的數學知識、方法，也學習了一些范例，但在獨立解題時，仍感覺困難重重，筆者從如何抓住解題要點、尋找破題的切入點著手，除了重視對題目考查的知識、數學思想方法進行歸納、總結外，還注重以“一題多解”為抓手對解題技巧等進行反思．

案例2 如圖，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C3都是邊長為2的正三角形，頂點 A，C1，C2，C3共線，點 P 在 B3C3上，則_____．

筆者引導學生對“向量的數量積”進行歸納反思：解題的切入點是什么？求向量的數量積常用的方法有哪些？

反思2：基向量是解決向量數量積以及向量應用的常用手段，基底的選擇除了不共線外，還要注意盡量選擇長度和夾角已知的兩向量作為基向量．注意到B3C3⊥AD，所以

反思3：坐標化是簡化向量計算的有效手段．以A點為原點，AC3為x軸正方向建立平面直角坐標系，則C3（6，0），直線B3C3的方程為，可設據此得

亦可特殊化（或極端化），即考慮點P位于點C3的特殊情況進而求解．

數學知識縱橫交錯、有機聯系，解題思路靈活多變，解題方法途徑多樣，但條條大路通羅馬．即使一次合理正確的解題，也未必能保證就是這一類題的最佳思路、最簡捷的方法．在問題的解決過程中，筆者關注學生反思意識的養成，在不斷質疑、不斷改進、拓展延伸的過程中提升學生的思辨能力．

三、思“變式”

筆者通過引導學生反思與問題相關的知識之間的聯系和轉化的過程、矛盾產生和解決的過程，以及對比同類或不同類問題之間的相同點和不同點等，體會發現問題和提出問題的基本方法與技巧，幫助學生系統地聯系、對比知識與方法，獲得一定的學習體驗，增強了學生的數學思維能力，形成一個促進數學思維發展的良性循環．

案例3已知函數f（x）=|x|，若函數g（x）=f（x）-kx-2k有兩個零點，則實數k的取值范圍是______．

筆者引導學生嘗試從條件中函數的類型、問題的呈現形式等出發，對題設條件、結論、設問方式等進行變式，把一個具體的看似孤立的問題，從不同的背景、不同的角度向外拓展延伸，有意識地引導學生從“變”的知識中去挖掘“不變”的本質，在“不變”中探求解題規律，并形成方法，幫助學生在問題解決的過程中尋找解決一類問題的思路與方法，達到舉一反三，通過有意識地反思，調動學生學習的積極性．

變式2已知f（x）是定義在區間［-2，2］上的偶函數，當0≤x≤2時，f（x）=x2-2x+1，若在區間［-2，2］上，函數g（x）=f（x）-kx-2k有四個零點，則實數k的取值范圍是______．

變式3已知f（x）是定義在R上的奇函數，若當x＞0時，f（x）則函數g（x）=xf（x）-1在［-6，+∞）上所有零點之和為______．

變式反思需找準知識的生長點，在問題的“橫向”與“縱向”的發展與聯系的探究過程中，深層次地認識問題的實質，領悟數學方法的本質，從中體驗靈活運用數學知識與數學技能解決問題的樂趣，從而促進智力和能力的提高，使高效課堂落在實處．

四、思“錯誤”

學好數學、理解好數學就是要重視數學知識的發生與發展的過程，這就要求我們能正確地對待數學學習過程中出現的錯誤，在經歷對錯誤的反思中，加深對數學知識的理解，進而提高認識．筆者在教學過程中，注意合理利用學生解題過程中的“錯誤”資源，展開有效的討論，造成觀念沖突，促進學生反思，批判性地認識自己的思維誤區，從中吸收正確的思想，擯棄錯誤的想法．

案例4（2017年福建省普通高中畢業班質量檢查·理6）某食品廠制作了3種與“福”字有關的精美卡片，分別是“富強?！薄昂椭C福”“友善福”，每袋食品隨機裝入一張卡片，若只有集齊3種卡片才可獲獎，則購買該食品4袋，獲獎的概率為（ ）

反思1：忽視了古典概率中基本事件的“等可能”導致錯誤．設事件M＝｛集齊3種卡片｝．一種“?！弊挚ㄆ瓤赡芊湃?袋食品中的一袋有4種方法，3種“福”字卡片各等可能地放入其中的一袋，共有43種，這是基本事件總數．從4個袋子中任取3個袋子有順序放入3種“?！弊挚ㄆ?，有種方法，再任取一種“福”字卡片放入最后一個袋子．故

實際上，由于每袋食品隨機裝入一張卡片，即等可能地放入3種“?！弊挚ㄆ?，所以一共有34種，這是基本事件總數．

反思2：忽視了計數過程中的“序”導致錯誤．一種“福”字卡片等可能放入4袋食品中的一袋有4種方法，3種“?！弊挚ㄆ鞯瓤赡艿胤湃肫渲械囊淮?，共有43種，這是基本事件總數．從4個袋子中任取3個袋子對應放入3種“福”字卡片，有種方法，再把重復的“?！弊挚ㄆ湃胱詈笠粋€袋子，有3種，故

實際上，在事件總數的計算中，已經考慮了“?！弊挚ㄆ摹靶颉?，因此，從4個袋子中任取3個袋子對應放入3種“福”字卡片，應有種方法.

反思3：計數過程中的“重復”與“遺漏”導致錯誤．設事件M＝｛集齊3種卡片｝．為了計算事件M包含的事件數，現分兩步來實現：第一步：從4個袋子中任取3個袋子隨機地有順序地放入3種“?！弊挚ㄆ?，有種方法；第二步：在第4個袋子中隨機放入一張“?！?，有 3 種方法．得

實際上，集齊3種卡片，表示4個袋子中有且只有2個袋子中放入同一種“?！?，因此可以任取2個袋子“捆綁”起來，看作一個袋子，3種卡片不重復地放入這3個袋子中，有C24A33種，故P

建構主義認為，數學的知識不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以鞏固，必須有一個自我否定、自我糾錯的過程．因此，反思錯誤，可以激發學生的學習欲望，促使學生對已完成的思維進行精加工并進行批判性的深入思考，給學生提供反思、質疑、對比、再反思的機會，讓學生經歷再探索、再研究的過程，從而真正把錯誤作為課堂的資源，并在這個過程中發展學生的情感、態度、價值觀．

北京師范大學曹才翰教授及其學生章建躍也非常重視并倡導培養學生對學習過程的反思習慣，他們認為“培養學生對自己的學習過程進行反思的習慣，提高學生的思維自我評價水平，這是提高學習效率、培養數學能力的行之有效的方法.”教師要善于引導學生在平時的解題過程中養成解后反思的習慣，既可促其牢固掌握“雙基”，促進知識的有效遷移、回顧和深化對問題的理解，又可提高解題效率和正確率，有效促進學生思維能力的發展．