屬性權(quán)重未知的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策方法

龔本剛，王嘉麗，張孝琪

（安徽工程大學(xué) 管理工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

0 引言

現(xiàn)實(shí)中，隨機(jī)多屬性決策問題中決策屬性值服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（簡稱正態(tài)隨機(jī)變量）是較為常見的形式[1]。例如，“產(chǎn)品的使用壽命”、“產(chǎn)品的市場需求”及“顧客的等待時(shí)間”等屬性值通常都是正態(tài)隨機(jī)變量的形式[2,3]。這類屬性值具有正態(tài)隨機(jī)變量的多屬性決策通常稱為正態(tài)隨機(jī)多屬性決策（Stochastic Multiple Atribute Decision Making，SMADM）。近年來，關(guān)于正態(tài)隨機(jī)多屬性決策問題已取得一些研究成果，主要從兩個(gè)方面展開：一是利用隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則判斷兩兩方案間的隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，對方案進(jìn)行排序[4,5]；二是利用SMAA（Stochastic Multi-objective Acceptability Analysis）方法對方案的權(quán)重空間進(jìn)行計(jì)算，給出使每個(gè)方案成為最優(yōu)決策的權(quán)重向量[6]。但是上述運(yùn)用隨機(jī)占優(yōu)決策方法進(jìn)行排序時(shí)，假設(shè)決策者完全理性，決策過程是建立在期望效用理論的基礎(chǔ)上，然而在實(shí)際決策過程中，決策者決策時(shí)往往會(huì)表現(xiàn)出有限理性的行為特征；SMAA是運(yùn)用蒙特卡洛仿真對方案權(quán)重空間進(jìn)行計(jì)算分析，分別得出使每個(gè)方案成為最優(yōu)決策的權(quán)重向量，而不能給出全方案排序[4]。

針對上述問題，部分學(xué)者考慮決策者有限理性的行為特征，運(yùn)用前景理論（Prospect Theory，PT）進(jìn)行隨機(jī)多屬性決策分析。如文獻(xiàn)[7]將前景理論和SMAA相結(jié)合，提出一種隨機(jī)多屬性決策方法；文獻(xiàn)[8]針對屬性值為離散隨機(jī)變量的決策問題，提出一種基于累積前景理論和集對分析的動(dòng)態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法；文獻(xiàn)[9]通過構(gòu)建出正態(tài)分布數(shù)字特征，推斷各區(qū)間數(shù)值發(fā)生概率計(jì)算參考點(diǎn)，提出基于前景理論和統(tǒng)計(jì)推斷的決策方法；以上基于前景理論的隨機(jī)多屬性決策方法是通過構(gòu)建決策權(quán)重函數(shù)和屬性價(jià)值函數(shù)，計(jì)算各方案前景值，進(jìn)而對方案進(jìn)行排序。然而當(dāng)決策過程中事件在自然狀態(tài)下概率未知或?qū)Ω鲗傩郧熬爸颠M(jìn)行融合求解方案綜合前景值時(shí)，需要進(jìn)行非線性運(yùn)算，這樣在決策過程中可能會(huì)帶來部分決策信息的丟失。

證據(jù)理論（Dempster-Shafer Theory，DST）作為一種不確定性推理方法，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[10,11]。而證據(jù)推理（Evidential Reasoning,ER）作為證據(jù)理論的一種改進(jìn)，能夠有效處理具有不確定性的定量和定性問題，并對非線性信息有效地進(jìn)行融合。本文將證據(jù)推理與前景理論結(jié)合，提出一種考慮權(quán)重未知的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策方法。首先將正態(tài)隨機(jī)變量離散化，利用證據(jù)推理構(gòu)造基本信任分配（Basic Probability Assignment，BPA）函數(shù)，也稱為Mass函數(shù)，用來處理和表示屬性值在自然狀態(tài)下離散區(qū)間內(nèi)發(fā)生的未知概率，從而構(gòu)造決策權(quán)重函數(shù)；將備選方案離散化后的隨機(jī)變量作為動(dòng)態(tài)參考點(diǎn)，構(gòu)造價(jià)值函數(shù)；進(jìn)而利用熵權(quán)法計(jì)算屬性權(quán)重；運(yùn)用證據(jù)推理將各屬性前景值和屬性權(quán)重進(jìn)行信息融合，最終獲得各方案綜合前景值。該方法在決策時(shí)不僅考慮將決策者行為因素，同時(shí)也能夠給出全方案排序。

1 問題描述

考慮一個(gè)具有屬性權(quán)重未知的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策問題，設(shè)有m個(gè)備選方案，記為A={A1，A2，...,Am} ，n個(gè)評價(jià)屬性，記為C={c1，c2，...，cn} ，各屬性間相互獨(dú)立。方案Ai(i=1，2，...，m) 關(guān)于屬性cj(j=1，2，...，n)的屬性值Xij為連續(xù)型隨機(jī)變量，Xij服從參數(shù)為μij和σij的正態(tài)分布，記為分別為均值和方差。在屬性值Xij的連續(xù)區(qū)間內(nèi)有N種取值情況，其取值概率未知，即屬 性 權(quán) 向 量 為，屬性權(quán)重未知。D=(Xij)m×n為初始隨機(jī)決策矩陣。試確定這些備選方案的排序并擇優(yōu)。

2 決策方法

運(yùn)用證據(jù)推理-前景理論對正態(tài)隨機(jī)多屬性問題進(jìn)行決策時(shí)，需要構(gòu)建決策權(quán)重函數(shù)和屬性價(jià)值函數(shù)，并對得到的屬性前景值進(jìn)行融合，進(jìn)而計(jì)算備選方案綜合前景值。前景理論的核心在于計(jì)算現(xiàn)有水平與參照點(diǎn)的偏離程度，由于備選方案屬性值均為正態(tài)隨機(jī)變量，不便直接進(jìn)行運(yùn)算，所以將屬性值離散化，求得屬性值離散區(qū)間的具體數(shù)值。該方法不僅便于對正態(tài)分布隨機(jī)變量進(jìn)行運(yùn)算，更有效降低了將隨機(jī)變量作為區(qū)間數(shù)進(jìn)行運(yùn)算而忽略區(qū)間內(nèi)部具體變化所導(dǎo)致的誤差。具體決策方法如下：

2.1 構(gòu)造Mass函數(shù)，計(jì)算離散區(qū)間屬性值概率

首先，將正態(tài)隨機(jī)變量Xij離散成連續(xù)的子區(qū)間，并確定各隨機(jī)變量每個(gè)區(qū)間的基本概率分配，然后利用Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法求出概率值。

在正態(tài)分布空間中對隨機(jī)變量進(jìn)行區(qū)間劃分，確立上下界。即根據(jù)正態(tài)分布的3σ原理，隨機(jī)變量Xij～N會(huì)落在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）范圍內(nèi)，即為對應(yīng)的上下界。各區(qū)間相對應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

在正態(tài)分布空間中，以均值μ作為分界線，分別對U軸的正向和負(fù)向進(jìn)行劃分，分成N個(gè)區(qū)間，則分界線兩邊區(qū)間數(shù)為N 2，每等份為假設(shè)隨機(jī)變量X的離散值為zijk，則zijk=(μijk-3σijk)+k·Δij(k=0，1，...，N) 。 設(shè)第k個(gè)小區(qū)間的范圍為[Uk，Uk+1]，則第k個(gè)區(qū)間對應(yīng)的基本概率分配值為：

mk表示對區(qū)間k的精確信任程度，當(dāng)Mass函數(shù)僅在識別框架的單點(diǎn)子集上定義時(shí)，表示為概率，即Pijk=mk。為保證最后求解的概率之和為1，對其歸一化處理，即：

2.2 參考點(diǎn)確定及屬性前景值矩陣構(gòu)建

前景理論考慮決策者面對不確定信息進(jìn)行決策時(shí)是有限理性的，在對備選方案進(jìn)行評估或預(yù)測時(shí)會(huì)選擇一個(gè)參考點(diǎn)。目前相關(guān)研究一般會(huì)都是假定參考點(diǎn)為固定的。但在實(shí)際決策時(shí)，參考點(diǎn)是可以改變的[7]。當(dāng)參考點(diǎn)改變時(shí)，備選方案相對參考點(diǎn)來說可能為收益或者損失，從而最后得到的前景值為收益和損失的綜合值，避免了參考點(diǎn)固定時(shí)前景值僅為收益或者損失的情況，使其評價(jià)結(jié)果更為合理[12]。

針對正態(tài)隨機(jī)多屬性決策問題，本文將其他備選方案作為動(dòng)態(tài)參照點(diǎn)。由于屬性值為正態(tài)隨機(jī)變量，若將其區(qū)間化會(huì)忽視其區(qū)間內(nèi)的具體變化趨勢。因此，本文將隨機(jī)變量離散化，將各備選方案屬性值中每一個(gè)區(qū)間的ztjk(t =1，2，...,m) 與zijk一一對應(yīng)，求解得到的屬性前景值可避免屬性值數(shù)量較少且只取一個(gè)參照點(diǎn)時(shí)存在極值的情況，有助于提高屬性間區(qū)分度。同時(shí)降低將其他備選方案屬性值作為參照點(diǎn)時(shí)的數(shù)據(jù)影響，提高備選方案的區(qū)分度和決策結(jié)果實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。具體如下：

首先，將各備選方案的屬性離散值ztjk作為動(dòng)態(tài)參考點(diǎn)，可以得到各屬性離散值的價(jià)值函數(shù)：

然后，根據(jù)屬性離散區(qū)間在自然狀態(tài)下的發(fā)生概率pijk，計(jì)算離散值zijk面臨“收益”和“損失”的決策權(quán)重：

根 據(jù) 文 獻(xiàn) [13]，取α=β=0.88，λ=2.25，γ=0.61，δ=0.69。運(yùn)用公式（3）、公式（4）可得到各屬性前景值：

由此，初始決策矩陣D=[xij]m×n轉(zhuǎn)換為屬性前景值矩

2.3 屬性權(quán)重計(jì)算

信息熵作為一種測量信息量的有效工具，在計(jì)算過程中可以降低人為主觀因素所造成的偏差。為此，有部分學(xué)者將信息熵引入決策領(lǐng)域，將其作為一種決策屬性權(quán)重求解方法[14，15]。借助于文獻(xiàn)[15]的思想，對屬性權(quán)重值進(jìn)行計(jì)算。

首先，計(jì)算離散后的屬性值與各動(dòng)態(tài)參考點(diǎn)之間的證據(jù)距離：

進(jìn)而得到該屬性的距離熵：

其中

2.4 計(jì)算備選方案綜合前景值

證據(jù)推理的信息合成規(guī)則可以在沒有任何先驗(yàn)信息的條件下實(shí)現(xiàn)證據(jù)的融合。首先，將問題描述中方案Ai所在的識別框架設(shè)為Θi，方案Ai的屬性值作為證據(jù)。而屬性值ν(Xij)作為證據(jù)對Xij的置信度。

Mass函數(shù)構(gòu)造如下：

其中，i=1，2，...，m;j=1，2，...，n;mj(Ai)是屬性值cj的基本信任分配函數(shù)，表示證據(jù)對方案Ai的支持度；mj(p(Θ ) )表示未指派給任意方案Ai的支持度。對k+1個(gè)證據(jù)進(jìn)行融合，得到如下合成公式：

其中i，t=1，2，...,m;j=1，2，...，n。通過對所有n個(gè)證據(jù)進(jìn)行組合，最終可以獲得方案Ai的綜合前景價(jià)值[16]：

根據(jù)公式（11）得出的綜合前景值進(jìn)行排序，綜合前景值越大則方案越優(yōu)，進(jìn)而得到最優(yōu)備選決策方案。

綜上所述，該方法決策步驟如下：

步驟1：將正態(tài)隨機(jī)變量離散化，利用證據(jù)理論將概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本信任分配函數(shù)，并根據(jù)式（1）、式（2）計(jì)算自然狀態(tài)下正態(tài)分布離散區(qū)間的屬性值概率；

步驟2：以其他備選方案為動(dòng)態(tài)參考點(diǎn)，利用式（5）求解各屬性前景值；

步驟3：基于距離熵和熵權(quán)法對離散后的正態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行處理，通過式（8）計(jì)算屬性權(quán)重；

步驟4：運(yùn)用式（11）計(jì)算各備選方案的綜合前景值，并進(jìn)行方案排序。

3 算例分析

利用文獻(xiàn)[16]中的算例來驗(yàn)證本文提出方法。考慮某風(fēng)險(xiǎn)投資公司對一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資，現(xiàn)有5個(gè)投資方案(A1，A2，A3，A4，A5) ，考核指標(biāo)即決策屬性指標(biāo)：投資額 C1（萬元），風(fēng)險(xiǎn)損失值C（2萬元），風(fēng)險(xiǎn)盈利值C（3萬元）。每一個(gè)方案Ai所對應(yīng)屬性值Ci的評價(jià)結(jié)果均為正態(tài)隨機(jī)變量，初始決策矩陣D（見表1）。試確定最優(yōu)投資方案。

表1 初始隨機(jī)決策矩陣D

首先將正態(tài)隨機(jī)變量離散成N個(gè)數(shù)據(jù)，N隨機(jī)取值為100。利用式（5）求得各備選方案下屬性前景值（見表2）。

表2 N=100時(shí)，備選方案的屬性前景值

求得屬性前景值后，運(yùn)用距離熵結(jié)合熵權(quán)法，通過式（8）求解屬性權(quán)重（見表3）。

表3 N=100時(shí)，屬性權(quán)重

最后運(yùn)用式（11）將屬性前景值和屬性權(quán)重融合，求得各方案綜合前景值，可得各方案的排序結(jié)果為A3?A1?A2?A5?A4，最優(yōu)方案為A3（見表4）。

表4 N=100時(shí)，備選方案的綜合前景值

進(jìn)一步將屬性值離散為1000個(gè)數(shù)據(jù)，即N=1000，計(jì)算備選方案Ai(i=1，2，3，4，5) 關(guān)于屬性cj(j=1?,?2,?3) 的前景值（見表5）。

表5 N=1000時(shí)，備選方案的屬性前景值

求解得出屬性前景值，進(jìn)一步求解屬性權(quán)重（見下頁表6）。

表6 N=1000時(shí)，屬性權(quán)重

如表7所示方案的排序結(jié)果為A3?A1?A2?A5?A4，方案A3最優(yōu)。

表7 N=1000時(shí)，備選方案的綜合前景值

由于篇幅所限，不將N所取數(shù)值全部列出，圖1反映離散數(shù)據(jù)N變化時(shí)方案的排序結(jié)果。

圖1 不同離散區(qū)間數(shù)下各方案綜合前景值的變化趨勢

由圖1可以看出當(dāng)N的值逐漸增大時(shí)，備選方案排序結(jié)果保持不變。表明在離散數(shù)量不同的情況下備選方案排序具有一致性、穩(wěn)定性。本文備選方案排序?yàn)锳3?A1?A2?A5?A4，其中方案A3為最優(yōu)決策方案。文獻(xiàn)[16]的排序結(jié)果為A3?A1?A2?A4?A5，最優(yōu)方案相同，對比得出排序結(jié)果基本一致。

方案4和方案5的排序有所變動(dòng)，從表1可以看出方案5在“投資額”、“風(fēng)險(xiǎn)損失值”上的屬性值均低于方案4；而由圖1可以看出，方案5的綜合前景值隨離散區(qū)間數(shù)量變化時(shí)，相較于方案4更加穩(wěn)定。根據(jù)前景理論中的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避原則，當(dāng)決策者面臨盈利能力相當(dāng)?shù)臎Q策方案時(shí)，更傾向于接受穩(wěn)定性較高的盈利方案。因此，在考慮決策者偏好時(shí)，判定方案5優(yōu)于方案4更加合理。

4 結(jié)論

針對屬性值信息不完全的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策問題，本文給出一種基于證據(jù)推理-前景理論的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策方法。將連續(xù)型正態(tài)隨機(jī)變量離散化，運(yùn)用Mass函數(shù)獲取屬性離散區(qū)間概率值，有效處理了屬性值在自然狀態(tài)下離散區(qū)間內(nèi)發(fā)生的未知概率。并且在實(shí)際決策過程中，前景理論考慮決策者期望，更加符合現(xiàn)實(shí)生活中人的決策情況。結(jié)合熵權(quán)法獲取客觀權(quán)重，避免專家決策的主觀影響；利用證據(jù)推理進(jìn)行信息融合，減少計(jì)算過程決策信息丟失。

與已有的正態(tài)隨機(jī)多屬性決策方法相比，本文具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）運(yùn)用證據(jù)推理有效處理了正態(tài)隨機(jī)變量中離散區(qū)間屬性值概率難以獲取的問題，同時(shí)又保證方案最后排序時(shí)的決策信息丟失最少；

（2）決策時(shí)通過決策參照點(diǎn)變化來反映決策者有限理性的行為特征，這符合人類決策思維，符合決策者的真實(shí)選擇；

（3）隨機(jī)變量離散區(qū)間數(shù)產(chǎn)生變化時(shí)，方案排序結(jié)果保持不變，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。實(shí)際決策中可根據(jù)決策者需求選擇不同的離散區(qū)間數(shù)量；

本文所提出的方法為解決權(quán)重未知、屬性值為正態(tài)隨機(jī)多屬性決策問題，提供了一條新的途徑，不僅對不確定性證據(jù)進(jìn)行客觀處理，并且更加貼近決策者實(shí)際情況，保證計(jì)算步驟中信息丟失最少，使決策結(jié)果更加科學(xué)精確。