電磁場相對論效應及載流直導線中帶電粒子受力分析

楊浩　李裔　蘭小剛

摘要：從帶電粒子運動激發的電磁場出發，討論了不同參考系下電磁場的轉換關系.在此基礎上，著重研究了不同參考系中，載流直導線激發的電磁場以及導線上帶電粒子的受力情況.并對電場與磁場的統一關系及相對論效應進行了定量分析.

關鍵詞：電場；磁場；相對論效應

基金項目：四川省研究生教育改革創新項目（445001）；西華師范大學教學改革與研究項目（XJJGXH2017111）.

作者簡介：楊浩（1996-），女，四川廣元人，在讀研究生.

通訊作者：蘭小剛（1982-），男，四川內江人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：物理學科教學論研究.

電場與磁場的產生都與電荷有關，靜止的電荷激發靜電場，運動的電荷激發磁場.在不同的參考系中，電荷的運動情況不同，電磁場會有不同的表現.特別是考慮相對論效應，在不同參考系下，電、磁場間相互轉化會比較復雜，而且該相對論效應也不可忽略.本文從運動帶電粒子激發的電磁場出發，討論了不同參考系下（本文涉及的參考系均為慣性參考系，以下同）電磁場的轉換關系.在此基礎上，詳細研究了載流直導線激發的電磁場，分別計算了載流導線上正（負）離子的受力.并將考慮相對論效應的結果與低速近似結果進行比較，自然回歸到經典物理的公式，最后對所得結果以及電磁場的本質進行討論.

1不同參考系下運動電荷激發的電磁場

當場源電荷（q）運動時，在其周圍運動的電荷（q′）不僅受到與自身運動速度無關的力（電力），還會受到與自身運動速度大小和方向有關的力（磁力），這兩種力都是通過場來傳遞的.顯然，運動電荷周圍不僅存在電場，還存在磁場.而物理學描述靜止或運動都是相對的，在相對場源電荷（q）靜止的參考系（S）中，只能觀測到電場的存在；但在相對場源電荷運動的參考系（S′）中觀測，不僅存在電場，還存在磁場.說明電場和磁場具有相對性.與洛倫茲變換關系（說明了時間與空間的聯系）類似，電場與磁場也存在相對論聯系.若以E→（Ex，Ey，Ez），B→（Bx，By，Bz）和E→′（E′x，E′y，E′z），B→′（B′x，B′y，B′z）分別表示在S系和S′系（以速度u沿S系的x軸正向運動）的電場和磁場，它們之間的變化關系為[1]：

E′x=Ex，E′y=（Ey-uBz）/1-u2/c2

E′z=（Ez+uBy）/1-u2/c2

B′x=Bx，B′y=（By+uEz/c2）/1-u2/c2，

B′z=（Bz-uEy/c2）/1-u2/c2 （1）

可見，電場、磁場構成統一體，即電磁場.相對于不同參考系，電磁場的六個分量具有不同的表現形式，其大小也存在差異.應該注意的是，由于存在電荷，但不存在所謂的“磁荷”，所以造成電現象與磁現象并不對稱.正是由于這種非對稱效應，可將磁場理解為電場的相對論效應.愛因斯坦也曾經指出：“我曾確信，在磁場中作用在一個運動物體上的電動力不過是一種電場力罷了.正是這種確信或多或少直接地促使我去研究狹義相對論”[2].

總之，同一電荷系統的電場和磁場的物理表現隨參考系的不同而發生變化.電磁場本質上是電場和磁場的統一實體，但磁場（或磁效應）是電場（或電效應）的相對論效應.接下來，我們將通過一個具體的物理模型，來定量研究二者之間的相對論效應.

2不同參考系中載流直導線激發的電磁場

我們以兩條平行放置的載流直導線這種簡單的物理模型為例，如圖1所示.豎直固定平行放置的兩條相同長直導線1和2相距為a（a為長直導線的長度），兩導線通有方向、大小都相同的穩恒電流 導線中的正離子均靜止，且單位長度導線中正離子的電荷量為λ；形成電流的導電子以速度v0沿導線向下勻速運動，單位長度的導線中導電電子的電荷量為-λ.已知：單位長度電荷量為η的無限長均勻帶電直導線在距其r處產生的電場的強度大小為E=2keη/r，其中ke是常量；當無限長直導線通有穩恒電流I時，電流在距導線距離為r處產生的電場的強度大小為B=2kmI/r，其中km是常量.

我們將結合狹義相對論中的長度收縮公式來討論常量ke和km的比值關系.

我們選取參考系S（S′）分別相對導線中正（負）離子靜止，如圖1所示.參考系S中，導線中的正離子靜止，而電子以速度v0向下勻速運動；參考系S′中，導線中電子靜止，而正離子以速度v0向上勻速運動

21不同參考系中載流直導線對正離子的作用

在S參考系中，如圖1（a）所示，導線上正負離子所帶電荷和為零，即λ=λ++λ-=0.考慮導線1對導線2中帶電量為q的正離子的作用，有Fe += 0；S參考系中，導線1中雖有導電電子運動，并激發磁場（B=2kmI/a），但導線2中正離子相對靜止，故正離子受到磁場力Fm+=qv1+B=0.

但在S′參考系中，如圖1（b）所示，電子靜止，正離子向上運動，考慮相對論尺縮效應：相對觀測者運動的載流導線，其上的電荷線密度分布會變大.因此S′參考系中，導線的單位長度帶電量不再正負抵消為零，從而在空間激發電場.因此在S′參考系中，導線1對導線2中正離子產生作用力（電場力）.相對參考系S′靜止的電子，其占據的長度比在S參考系中運動時占據的長度l會伸長為l-' = l/1-v20 c2[3].由于總的電荷量不隨參考系變化，有λ′l′=λl.因此，S′系中的負電荷線密度為-λ- ′ = λ1-v20 c2.反之，參考系S′中正離子以速度v0向上勻速運動，相比在S系中靜止時占據的長度l會縮短為l+′= l1-v2oc2，同理可得，S′系中正電荷密度為λ +′ = λ/1-v20 c2.

因此，考慮相對論長度收縮效應后，在參考系S′中，導線1單位長度帶電量不再為零，其大小為

λ′ = λ +′ + λ-′ = λv2oc21-v20c2（2）

則其在導線2處產生的電場強度為

E′= 2ke λ'a = 2ke λv2o c2a1-v20 c2（3）

（3）式中，凈電荷密度λ′>0，電場強度方向向右.則導線2中帶電量為q的正離子會受到方向水平向右的電場力，其大小為

Fe +′ = qE′ = 2ke qλv20 c2a1-v20 c2（4）

另一方面，在參考系S′中觀測，導線1中的正離子以速度v0向上勻速運動，形成電流

I′= λ +′v0 = λvo 1-v2o c2（5）

此電流在距離導線a處激發磁場的磁感應強度為

B′ = 2km I′a = 2km λvo a1-v2o c2（6）

其方向垂直紙面向內.則導線2中電荷量為q的正離子會受到方向水平向左的磁場力為

Fm +′ = qv0 B′ = 2km qλv20 a1-v20 c2（7）

通過以上分析可見，在S參考系中觀測導線2中的正離子不受力作用，但S′參考系中，導線2中的正離子既受電場力又受到磁場力作用，顯然二者合力應該為零（因正離子均保持靜止或向上勻速運動狀態）.故F′=F′e+-F′m+=0，化簡可得ke/km=c2.

當然，我們直接利用無限長帶電導線激發的電場以及無限長載流導線激發磁場的表達式為

E=λ2πε0r=2keλr，B=μ0I2πr=2kmIr（8）

（8）式中，ε0，μ0分別為真空介電常數與磁導率，二者均為與參考系無關的常數.也可得到ke與km的比值為ke/km=1/μ0ε0=c2[4].這和我們考慮相對論效應得到的結果也是一致的.

至此，通過以上分析我們看到：不同參考系下，同一條載流直導線激發的電磁場是不同的.為了進一步理解電磁場的統一性與相對性，我們不妨繼續討論，分析上述過程中導線2中的負離子受力情況.

22不同參考系中載流直導線對負離子的作用

如圖1（a）所示，在S參考系中，負離子-q以速度v0豎直向下運動，導線1中有方向向上的穩恒電流I，則載流直導線1在距離a處產生的磁場強度大小為B=μ0I/2πa，方向垂直紙面向里.因正負離子帶電量相抵消，不激發電場，故作用在導線2中的負離子q上的力（洛倫茲力）大小為Fm=qvB=qvμ0I/2πa方向水平向左，指向導線1.

在S′參考系中，如圖1（b）所示，導線1中導電電子靜止，正離子向上運動形成方向向上的電流，在距離a處產生磁感應強度大小為B'=μ0I′2πa的磁場.但此時導線2中的負離子（-q）相對靜止，故不受洛倫茲力的作用.但考慮尺縮效應，S′系下導線1中正負電荷之和為λ' = λv20 （c2·1-v20 c2），其將在距離a的導線2處產生電場.電場強度方向水平向右，大小為E′=λ′/2πε0a，則作用在導線2中的負離子（-q）上的電場力大小為Fe′=qE′=qλ′/2πε0a，方向水平向左，指向導線1.

接下來我們將不同參考系下的電力和磁力進行化簡，由c-2=ε0μ0以及電流定義I=λv0，可得

Fm = qλv202πε0 ac2，Fe′ = qλv2o2πε0ac2 11-v2oc2（9）

（9）式結果表明，兩個參考系下，電力和磁力大小幾乎相等.至少，在低速情況下Fm=Fe′.實際上，我們再回顧（4）式和（7）式，也會發現類似結果.因此無論作用對象是正離子還是負離子，不同的參考系中，導線對一沿其勻速運動的帶電離子作用力（電力或磁力）是相同的，電和磁可以理解為“對同一事物的兩種不同觀察方法而已”.電和磁本質上僅僅是兩種不同的表現形式而已，它們最終也會給出相同的物理結果.

當然，（9）式Fe′中多出的因子項，可以通過考慮不同參考系下力的作用效果來證明，二者產生的物理結果是等效的.若作用一段時間后的橫向動量（設橫向坐標為y）為ΔPy=FΔt，ΔPy′=F′Δt′.利用 （9）式，可得ΔPy=ΔPy′，即在不同參考系下，載流直導線所激發出的電場和磁場對一沿導線勻速運動的帶電離子的作用效果完全一致.

3總結與討論

由以上分析可得載流直導線在運動參考系S′中激發的電磁場為

E′ = λ′2πε0a = Iv0c22πε0a1-v20c2，B′ = μ0I2πa = B（10）

顯然，在低速情況下，載流直導線在相對于觀察者沿導線方向以速度v0運動時激發的電磁場，相當于它本身（S系中）激發的靜磁場與它的線電荷密度變為λ′后激發出的靜電場的疊加.同理，線電荷密度為λ的無限長均勻帶電直線在相對于觀察者沿長度方向以速度v0運動時激發的電磁場，就相當于它本身激發的靜電場與它形成的電流I=λv0時激發的靜磁場的疊加.

此外，單位長度載流導線所受電、磁力的大小也存在顯著差異.上節討論的導線1、2中單位長度間的磁力大小為Fm=μ0λ1v1λ2v2/2πd，電力大小為Fe=E1λ2=λ1λ2/2πε0d.將二者大小進行比較，有Fm/Fe=ε0μ0v1v2=v1v2/c2.假設金屬中電子漂移速度大約為10-4數量級[5]，則Fm/Fe大約為10-24.也就是說載流直導線間的電力遠大于磁力.但由于導線中正負帶電粒子所受的電力大小相同、方向相反，電力被抵消.所以分析兩根載流導線間的作用力時，僅僅考慮磁力即可.

總之，同一電荷系統的電場和磁場的物理表現隨參考系的不同而發生變化.

參考文獻：

[1]郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]張三慧.大學基礎物理學[M].北京：清華大學出版社，2007.

[3]費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義：第二卷[M].上海： 上?？茖W技術出版社，2013.

[4]趙凱華，陳熙謀.電磁學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]馬基茂，毛澤普，周杰，顏潔.一個均勻電場漂移室和電子漂移速度的測量[J].高能物理與核物理，1985（01）：1-5.