由翻轉水瓶實驗理解角動量守恒與碰撞過程

吳亞東　程建榮

摘要：翻水瓶挑戰在2017年風靡了美國，挑戰者需將裝有一定量液體的水瓶拋出，并使其穩穩地立在平面上.通過對水瓶的運動狀態分析，從定性角度出發，得到決定挑戰成功的影響因素：水瓶重心、水瓶形狀、出手方式等.再進行一定的定量分析后，通過一系列實驗，發現一系列規律并給出可行的建議.并通過此實驗，引導學生理解角動量守恒與物理碰撞過程，同時展示了其在跳水等運動的相似之處.

關鍵詞：翻水瓶實驗；碰撞過程；角動量守恒；穩定性；重心

作者簡介：吳亞東（1997-），男，北京密云人，本科在讀，研究方向：數學建模、物理實驗競賽；

程建榮（1961-），男，陜西人，高級實驗師，研究方向：物理演示與教學.

2017年在美國掀起了一場翻水瓶挑戰（Fliping Bottle Challenge），規則很簡單，用手向空中扔一個裝有適當液體（例如水）的水瓶，使其在空中進行翻轉，最終豎直穩定地立在平面上（桌子或者地板）.

由于規則對于水瓶的材質，瓶內液體的性質（粘度，密度），液體高度以及平面的材質沒有特殊規定.因此，有了足夠的空間去發揮.比如，有人使用可口可樂的水瓶，有人用類似農夫山泉的水瓶，還有人使用飲水機的水桶.在課桌、地板、滑板、籃球甚至路邊的廣告牌上都有穩穩立住的水瓶.

雖然翻水瓶游戲看似簡單，但是若要直接進行數學分析，建立模型的話，則會發現，其中涉及到的物理知識較多，如質點運動學、剛體力學、流體力學等，因此，筆者采取從定性到定量化的分析方法逐步解決問題，并通過實驗理解角動量守恒與碰撞過程[1，2].

1定性理解

對于翻水瓶至穩定狀態這一物理過程可以分為如圖1所示的三個步驟：出手、空中翻轉、碰撞至穩定.

因此，影響水瓶翻轉成功的因素包括：水瓶的選擇（形狀，密度，硬度等），瓶內液體體積以及液體的性質，出手的角度以及力度和平臺的性質等.

11水瓶的選擇

在市場上所有能看到的水瓶可以歸為兩類：可與地面完全貼合圓形底（如農夫山泉，飲水機飲水桶等）以及非完全貼合的形狀（如塑料可口可樂瓶子），如圖2所示.

將這兩種瓶子拿在手里或放在桌子上我們可以明顯地發現兩者的不同，農夫山泉的水瓶可以嚴密地貼合在桌面上，而可口可樂的水瓶僅有幾個“支柱”與桌面接觸，并且農夫山泉的水瓶較為柔軟容易變形，但可口可樂的瓶底很堅硬不易變形（如圖3）.

因此，在碰撞階段兩者的差別就很明顯，因為農夫山泉水瓶易通過變形而將動能消耗，更容易靜止直立在平面上，從而有更大的幾率達到成功的翻轉.但是對于可口可樂水瓶的碰撞過程，由于瓶體難以發生形變，也就導致其需要較長時間才能將動能消耗，所以相對于農夫山泉水瓶不易完成翻轉.

在選擇水瓶方面，應當選擇有較為柔軟、易變形的，與平面可以緊密貼合的瓶底的水瓶（如圖4）.

12瓶中液體高度

瓶中液體的高度會影響到總體水瓶系統的重心，若暫時將瓶中液體“凍結”，也就是說，水瓶系統的重心是不變的也就可以看做是剛體.

如圖5所示，可以清楚地看出：物體能立在平面上的臨界狀態的角度滿足θ1 <θ2<θ3.也就表明了當剛體的重心越低就有更大概率穩定在平面上，就更可能完成水瓶翻轉，即系統具有更強的穩定性.

所以，在灌入瓶中液體時，應當選擇盡可能降低整個體系重心的液體和適當的高度（高度約1/3或以下，使水瓶可以在45°的傾角下仍可恢復直立的狀態即可），同時適當高度的液體還可以使水瓶在翻轉過程中適當減速，更加有利于完美的著陸.

13出手方式

在翻轉水瓶的三種過程中，出手的方式（包括力度、角度等）是直接關系到翻轉水瓶成敗的決定性因素.

首先，應當盡量保持水瓶出手后在空中做豎直平面內的旋轉，即出手的方向應當與水瓶的軸線在同一平面內.不然，水瓶將在三維空間里翻轉，不易達到一個穩定的著陸姿勢.

由于在空中翻轉時，瓶內的液體與瓶壁摩擦較小，可以在重力作用下沿著瓶壁自由流動，保持液面平穩.這就導致了液體在不同的時刻所處的相對位置與形態是不一樣的.當出手時給予水平方向的初速度大，則水瓶運動的水平距離較遠，但是碰撞過程中這部分的能量難以抵消，會導致水瓶內液體向水瓶頂部運動，使其重心升高，也就更不易穩定直立.但是當所給予的垂直方向的速度較大，則水瓶向更高處運動，著陸時，水平方向速度較小，豎直方向速度較大，這種情況下水瓶更容易穩穩地立在平面上.較為合適的出手方式是使水瓶的軸線與平面平行（如圖6）.

總之，應當保持水瓶在豎直平面內做水平分速度較小的旋轉運動，這樣才更有機會完成水瓶翻轉.

2定量分析

水瓶整體的運動可以類比為運動員在空中的翻轉，如跳水運動員從離開跳板到入水的過程.水瓶在空中翻轉的過程中，其角動量守恒，但是體系的轉動慣量是變化的，所以其角速度也是變化的.

21空中運動時間

在討論瓶子在空中運動時，可近似地可以將其按質點處理（圖7），其過程滿足以下公式：

t1 = vgt2 = vgH =vt3 + 12gt23

在給定的H和v下，可以求出瓶子在空中的運動時間，可確定后一步在空中的翻轉狀態.

22空中翻轉

因為瓶中液體會在瓶中運動，導致轉動慣量變化，但是這樣難以進行數學處理，因此先討論在定軸轉動慣量（瓶中液體粘度大，難以運動）即角速度不變情況下的運動，再推廣到角動量變化時的情況.

221轉動慣量不變時

θ=θ0+ωt

可根據之前所求出的時間，確定水瓶著陸時的姿態（如圖8）.

222轉動慣量變化

由于水瓶中液體的運動，導致轉動慣量發生變化，有下式關系成立：

L0=∑n1r→×v→m=r→瓶×v→瓶m瓶+r→液×v→液m液

可使之前的結果更加符合實際.

23落地狀態

要使水瓶成功落地，主要取決其落地時的姿態與速度（如圖9）.

vx=vcosθtvy=vsinθt

θ=θ0+ωt

水瓶著地時的角度應小于圖10中所示的臨界角度.

24碰撞

由于瓶子在落地前有動能，只能通過碰撞使能量耗散.而這一過程卻是最容易使水瓶傾倒的，同時也是最難分析的.因為碰撞中水瓶內的液體會突然受到碰撞，激起水花等，從而使瓶子重心提高而翻倒.

3實驗驗證

由于水瓶及其內部的水的運動狀態較為復雜，難以推導出具體表達式，而且每次試驗的微小差異，也會對水瓶的成功翻轉產生較大影響.因此，要進行大量實驗，嘗試探索出可行的方式.

分為用手拋水瓶和用機器拋射水瓶兩種方式.使用機器拋射水瓶可以較為精確地控制每次的初始條件，從而得到了一定的規律.

31機械投射不同拋水瓶

制造機械投射裝置，以控制每次的投射初始參數，從而進行定量的實驗（如圖11、圖12、圖13）.

32手拋不同拋水瓶

手拋水瓶難以運用控制變量法試驗，筆者進行了多次試驗，成功概率較低.只發現了存在一定角度和略向前移動等規律.因此，這里不作討論.

321失敗

4總結與推廣

41概率較低

翻轉水瓶實驗中，成功的實驗次數較少，概率較低.需要進行一定次數的反復練習并掌握一定的技巧.

水瓶較容易發生前傾或側翻狀態，而且即使當水瓶豎直著陸時，也會發生水瓶傾倒，原因可能是因為瓶內的液體發生運動，使水瓶失去穩定.

42翻轉

翻轉的原理與跳水運動類似，從高處落下，以近似豎直的方式落入水中.故可以將本實驗中的相關結果，原理推廣到類似的運動項目中，指導運動員進行訓練.如在扔水瓶時，應使其水平方向分速度較小，近似豎直單向運動，這與跳水運動員的3米跳板方式類似，為了使入水的水花盡量小，也應當使其在水平方向分速度較小.

43建議

總結實驗，可以發現，當選擇底部面積大，與平面盡量貼合的水瓶，密度較大的液體（使整體重心低），粘度較大（在瓶中不易滑動），出手時水平方向分速度較小時，水瓶成功翻轉的概率較大.

翻水瓶實驗雖然過程看上去簡單，但卻涉及多種物理知識，如角動量守恒、碰撞過程[3]，可以通過此試驗加深學生對于物理知識的掌握，并且可以引領學生主動運用所學知識發現、解決身邊的物理問題，對于學生的學習及日后發展有重要意義.

參考文獻：

[1] 陳曉莉 新課程中學物理實驗技能訓練[M].北京：機械工業出版社， 2015.

[2] 張連禎 中學物理教學實踐探索[M].成都：四川教育出版社， 2014.

[3] 龔承康 高中物理碰撞問題研究[J].高中數理化， 2015（10）：29-29.