一種鐵磁物體固定磁性反演新方法

周國(guó)華，劉勝道，劉月林，隗燕琳

(1.海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院,湖北 武漢 430033；2.定海裝備技術(shù)質(zhì)量監(jiān)測(cè)站，浙江 舟山 316000)

0 引言

與其它鐵磁物體一樣，由于磁滯效應(yīng)，在地磁場(chǎng)作用下的鋼鐵結(jié)構(gòu)艦船不僅存在著感應(yīng)磁性，還存在著剩余固定磁性。感應(yīng)磁性屬瞬時(shí)效應(yīng)，其計(jì)算技術(shù)研究相對(duì)較多；固定磁性屬累積效應(yīng)，與復(fù)雜的磁化歷史有關(guān)，因而固定磁性的計(jì)算一直是個(gè)技術(shù)難題。

目前，固定磁性的研究工作還不是很深入，文獻(xiàn)[1]用磁偶極子模型和遺傳算法對(duì)艦船固定磁性計(jì)算問題進(jìn)行了一定程度探索；文獻(xiàn)[2]研究了薄殼簡(jiǎn)化船模的感應(yīng)磁性與固定磁性混合模型，為艦載閉環(huán)消磁技術(shù)的研究奠定了基礎(chǔ)，但由于其將自身固定磁性引起的感應(yīng)磁性也納入磁場(chǎng)模型的感應(yīng)磁性范圍考慮，因此其難以滿足艦船磁性處理的技術(shù)需求。

由于磁化歷史的缺失，求解固定磁性只能采用逆問題的思路，即依靠磁傳感器測(cè)量得到部分磁場(chǎng)信息來(lái)反演計(jì)算鐵磁物體的固定磁性。通常情況下，通過磁場(chǎng)測(cè)量只能獲得固定磁性和感應(yīng)磁性的合成磁場(chǎng)。因此，為實(shí)現(xiàn)鐵磁物體固定磁性的求解，必須分2步：首先通過正演技術(shù)將鐵磁物體的感應(yīng)磁場(chǎng)分解出來(lái)；其次基于測(cè)量得到的合成磁場(chǎng)與計(jì)算得到的感應(yīng)磁場(chǎng)之差，通過反演技術(shù)來(lái)計(jì)算鐵磁物體的固定磁性。按照上述思路，本文提出了一種基于磁場(chǎng)積分法和截?cái)嗫傮w最小二乘(Truncated Total Least Square, TTLS)正則化方法的鐵磁物體固定磁性反演技術(shù)，并用鋼板固定磁性反演計(jì)算實(shí)驗(yàn)對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 鐵磁物體固定磁性反演計(jì)算原理

在圖1所示的靜磁計(jì)算問題中，磁化強(qiáng)度為M的鐵磁物體在測(cè)量點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為M的函數(shù)

Bm=f(M)

(1)

用磁場(chǎng)積分法求解靜磁問題時(shí)算子f可表示為[3]

(2)

為消除積分奇異性，算子f的體積分形式在均勻磁化條件下可簡(jiǎn)化為相應(yīng)的面積分形式[2,4]

(3)

由鐵磁學(xué)理論可知，在外磁場(chǎng)作用下的鐵磁物體，其內(nèi)部總磁化強(qiáng)度M可表示為由外磁場(chǎng)引起的感應(yīng)磁化強(qiáng)度Mind和由磁滯效應(yīng)產(chǎn)生的剩余固定磁化強(qiáng)度Mper之和，即M=Mind+Mper。因而，測(cè)量點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度可分為2部分，即由感應(yīng)磁化強(qiáng)度產(chǎn)生的感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度

(4)

和由固定磁化強(qiáng)度產(chǎn)生的固定磁感應(yīng)強(qiáng)度

(5)

通常情況下，感應(yīng)磁化強(qiáng)度和感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度都可以通過正演方法計(jì)算得到，但固定磁化強(qiáng)度和固定磁感應(yīng)強(qiáng)度只能通過反演技術(shù)進(jìn)行計(jì)算。為求得鐵磁物體的固定磁性，可建立下列固定磁性反演模型

(6)

AMper=b

(7)

式中A稱為系數(shù)矩陣，由算子f決定。求解上述反演模型就可解算鐵磁物體的固定磁性。然而，與其它應(yīng)用領(lǐng)域的逆問題一樣，由于測(cè)量信息的不足，反演模型(7)常表現(xiàn)出很強(qiáng)的病態(tài)性。測(cè)量數(shù)據(jù)中較小的測(cè)量誤差或感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度中較小的計(jì)算誤差都可能引起固定磁性反演計(jì)算的較大波動(dòng)。正則化方法為提高反演模型計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性提供了手段。

2 固定磁性計(jì)算的各主要算法實(shí)現(xiàn)

從上述固定磁性計(jì)算原理分析過程中，不難發(fā)現(xiàn)求解鐵磁物體固定磁性的關(guān)鍵在于測(cè)量點(diǎn)處感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的正演計(jì)算和固定磁性反演模型的病態(tài)性處理，下面我們主要來(lái)研究有關(guān)這兩方面的具體算法實(shí)現(xiàn)過程。

2.1 感應(yīng)磁性的正演計(jì)算

為實(shí)現(xiàn)測(cè)量點(diǎn)處感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算，首先需計(jì)算鐵磁物體內(nèi)部的感應(yīng)磁化強(qiáng)度。不妨將鐵磁物體離散為N個(gè)六面體單元，當(dāng)各離散單元足夠小時(shí)，其內(nèi)部磁性參數(shù)可看作常數(shù)。以各單元中心為場(chǎng)點(diǎn)，根據(jù)總場(chǎng)B與磁化場(chǎng)Bm及源場(chǎng)B0的關(guān)系

B=Bm+B0

(8)

及場(chǎng)量關(guān)系式

(9)

則有

B(rpj)=-μrjB0(rpj)

(10)

式中：j=1,2,…,N；μr為鐵磁物體的相對(duì)磁導(dǎo)率；B0為外加磁化場(chǎng)。求解式(10)，結(jié)合式(9)和式(4)即可實(shí)現(xiàn)鐵磁物體在測(cè)量點(diǎn)處感應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算。

2.2 固定磁性反演模型的病態(tài)性處理

隨著逆問題模型在各實(shí)際工程領(lǐng)域的出現(xiàn)，病態(tài)逆問題的求解方法也得到了深入研究。正則化技術(shù)能夠有效抑制數(shù)據(jù)誤差對(duì)病態(tài)逆問題計(jì)算結(jié)果的影響[5-9]。常用的正則化方法有截?cái)嗥娈愔捣纸夥āikhonov正則化方法和迭代正則化方法等，這類正則化方法的缺點(diǎn)是僅考慮了反演模型數(shù)據(jù)項(xiàng)含誤差的情形。在固定磁性反演模型中，不僅反演模型右端數(shù)據(jù)項(xiàng)中存在誤差，而且磁傳感器位置誤差、系數(shù)矩陣中各元素積分計(jì)算誤差都會(huì)給模型系數(shù)矩陣帶來(lái)誤差。考慮到截?cái)嗫傮w最小二乘法(Truncated Total Least Square, TTLS)能夠有效處理病態(tài)反演模型兩端都存在誤差的情形[10]，本文將其應(yīng)用于固定磁性反演模型的求解，以提高反演計(jì)算的精度和穩(wěn)定性。

TTLS是在用總體最小二乘法(Total Least Square Method, TLS)求解逆問題的基礎(chǔ)上提出的。用TLS法求解逆問題離散模型時(shí)，同時(shí)考慮系數(shù)矩陣A和測(cè)量數(shù)據(jù)向量b中都存在誤差的情況。TLS的基本思想是用誤差向量Δb干擾測(cè)量數(shù)據(jù)向量b、誤差矩陣ΔA干擾系數(shù)矩陣A，以校正A和b兩者同時(shí)存在的誤差，即將式(7)轉(zhuǎn)化為求解下列優(yōu)化問題

(11)

s.t.(A+ΔA)Mper=(b+Δb)

式中‖·‖F(xiàn)為矩陣Frobenius范數(shù)。對(duì)增廣矩陣[Ab]作奇異值分解，有

(12)

從而可得式(11)的解[11]

(13)

(14)

可得逆問題模型(7)的TTLS解

(15)

正則化參數(shù)k的選擇決定著解的抗誤差干擾能力和計(jì)算精度，可由L曲線法或廣義交叉檢驗(yàn)法來(lái)確定。本文采用L曲線法來(lái)確定正則化參數(shù)，L曲線的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別取為

3 鋼板固定磁性計(jì)算實(shí)例

3.1 鋼板磁場(chǎng)原始數(shù)據(jù)的測(cè)量

為實(shí)現(xiàn)鋼板固定磁性的計(jì)算，設(shè)計(jì)了圖2所示的測(cè)量點(diǎn)方案。鋼板尺寸為1 000 mm×200 mm×6 mm，相對(duì)磁導(dǎo)率140。在鋼板受外磁場(chǎng)B0=-34 500exnT縱向磁化的條件下，采用測(cè)磁精度為10 nT的三分量磁通門傳感器測(cè)量得到了圖2所示41×5平面點(diǎn)陣上的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)B1，并以該磁場(chǎng)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行鋼板固定磁性的建模計(jì)算。

為對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行評(píng)估，在鋼板分別受外磁場(chǎng)B0=-34 500exnT和B0=34 500exnT的磁化條件下，測(cè)量得到了距離鋼板582 mm的下方平面33×2點(diǎn)陣上的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)B2和B3，以分解出鋼板感應(yīng)磁場(chǎng)和固定磁場(chǎng)測(cè)量值，即

3.2 鋼板感應(yīng)磁性正演計(jì)算

為求解鋼板感應(yīng)磁性，將鋼板離散為100個(gè)六面體單元，如圖3。感應(yīng)磁場(chǎng)正演計(jì)算模型(10)中各參數(shù)的計(jì)算可參見文獻(xiàn)[4]。圖4和圖5分別給出了鋼板內(nèi)部感應(yīng)磁化強(qiáng)度分布和測(cè)量點(diǎn)處感應(yīng)磁場(chǎng)Z分量計(jì)算值和測(cè)量值對(duì)比曲線。由圖可以看出，感應(yīng)磁場(chǎng)Z分量計(jì)算值與測(cè)量值之間具有很好的一致性，其計(jì)算誤差為6.7%。

3.3 鋼板固定磁性反演計(jì)算

在求解上述感應(yīng)磁場(chǎng)的基礎(chǔ)上，基于磁場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)B1建立了如下固定磁性反演模型

(16)

3.4 討論與分析

鋼板固定磁性反演結(jié)果表明，在鋼板較粗略的剖分下，其固定磁性計(jì)算就可達(dá)到滿意的計(jì)算精度，從而說(shuō)明本文算法能夠有效重建鐵磁物體固定磁性分布。從其整個(gè)建模過程可以看出，其誤差來(lái)源主要為原始磁場(chǎng)測(cè)量誤差、感應(yīng)磁場(chǎng)計(jì)算誤差及反演模型病態(tài)性處理引入的舍入誤差。這些誤差的消除，可有效提高固定磁性反演計(jì)算的精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于磁場(chǎng)積分法和TTLS正則化方法的鐵磁物體固定磁性反演技術(shù)，為解決鐵磁物體固定磁性計(jì)算提供了一條技術(shù)途徑。鋼板固定磁性計(jì)算實(shí)例表明，該方法能夠根據(jù)磁場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)，有效重建其內(nèi)部固定磁性分布。該方法對(duì)研究艦船等鐵磁物體的固定磁性分布與提高艦船磁防護(hù)水平具有重要意義。