用放縮法證明與數列前n項和有關的不等式

張云標

摘要：數列是高考與競賽中的熱點，而與數列前n項和有關的不等式的證明問題更是受到命題者的青睞，近年來在高考、各地高考模擬試題與競賽試題中頻頻出現，且有些證明問題難度較大，思維能力要求較高，除了要利用證明不等式的一些基本方法（如比較法、綜合法、分析法、數學歸納法等）外，往往還要對所證不等式進行放縮。眾所周知，放縮要有一定的“度”，放得太大或縮得太小都會事與愿違，達不到證題目的。下面通過一些高考題、各地高考模擬題或競賽題談談證明與數列前n項和有關的不等式問題的常用放縮策略。

關鍵詞：放縮法；數列；不等式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）34-0146-01

常用策略一：抓住通項，對通項進行放縮。

有些與數列前n項和有關的不等式，其前n項和不能求得，但通過對通項的適當放縮，其放縮后的和可求得，從而達到證題目的。

例1.已知數列{an} 的前n項和為Sn，且滿足a1=12 ，an=-2Sn Sn-1（n≥2）。

⑴求證：{1Sn} 是等差數列；

⑵求an 的表達式；

⑶若bn=2（1-n）·an（n≥2） ，求證：b22+b23+…+b2n<1 。

（2004年南昌市高考模擬試題）

證明：這里主要對⑶進行證明。由⑵求得的an=-12n（n-1） （n≥2），得bn=1n （n≥2）。

∴b22+b23+…+b2n=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）=1-1n<1，獲證。

【評注】這里用到的放縮式是1n2<1（n-1）·n（n≥2），類似的放縮式還有

1n2<1（n-1）（n+1） （n≥2），1n2>1n（n+1）（n∈N+） ，1n！<1n（n-1） （n≥4）等。

常用策略二：放至最大項或縮至最小項。

對于有些存在最大項或最小項的數列（如單調數列、有界數列）的前n項和的不等式證明問題，有時可以將每一項（或部分項）放至最大項或縮至最小項，從而達到證題目的。

例2.數列{xn} 滿足：x1=13，xn+1=x2n+xn（n∈N+） 。試證：

2<11+x1+11+x2+…+11+x2004<3

證明：∵xn+1-xn=x2n ，用賦值法可得xn+1-x1=x21+x22+…+x2n 。而xn+1-xn=x2n>0 ，

得數列{xn} 單調遞增，∴xn+1-x1>nx21 ，即xn+1>n+39 。

又1xn+1=1xn（xn+1）=1xn-1xn+1 ，即1xn+1=1xn-1xn+1 。

∴∑ni=11xi+1=1x1-1xn+1=3-1xn+1<3

，且3-1xn+1>3-9n+3。取n=2004 得2<3-92007<3-1x2005= ∑2004i=111+xi<3，命題獲證。

【評注】這里利用數列{xn} 單調遞增，將x2，x3，…，xn 均縮至x1 ，從而達到證題目的。對于遞增數列或遞減數列，我們可以考慮將數列中的項縮至最小項或放至最大項；對于有界數列，我們可以考慮將數列中的項縮至下界或放至上界。

上面我們利用幾種常用的放縮策略解決了一些高考模擬題、高考題及競賽題中與數列的前n項和有關的不等式，從中可以領略到利用放縮法證明與數列的前n項和有關不等式的魅力，同時也感受到了實施放縮時選擇策略的重要性。只有掌握了各種放縮策略的真正內涵，才能在證明與數列的前n項和有關的不等式時放縮自如，從而使問題得到有效解決。

參考文獻：

[1] 戴怡萱.高中生解決不等式證明問題的調查研究[D].華東師范大學，2018.

[2] 成俊輔.高中數學中常見不等式的放縮方法[J].環渤海經濟瞭望，2017（08）：150.