圓系方程法更甚“一寵”

李紅梅

摘要：求經過直線和圓的交點的圓的方程，常使用待定系數法，它是一種基本的方法，但計算量甚大，為此，以下例子采用4種方法：待定系數法、直接法、幾何法、圓系方程法，經對比分析，圓系方程法最優，說明靈活巧妙地運用合適的方法，有達到事半功倍的效果。

關鍵詞：圓的方程；待定系數法；直接法；幾何法；圓系方程法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）34-0137-01

前言

圓是一種完美的圖形，生活中無處不見，應用廣泛。求圓的方程屬于高中教材課表必修模塊二，是解析幾何中的內容。學習了圓的標準方程、一般方程后便可用于求某些限制條件下圓的方程。例求經過直線和圓的交點的圓的方程，常使用待定系數法，它是一種基本的方法，但計算量甚大，有沒有更好的方法呢？為此，以下例子采用4種方法：待定系數法、直接法、幾何法、圓系方程法，經對比分析，可發現靈活巧妙地運用合適的方法，有達到事半功倍的效果。

例：求過直線x-2y+4=0和圓x2+y2-2x+10y-24=0 的交點，且圓心在直線x+y=0 上圓的方程.

方法一： （待定系數法）

思路：先假設出圓的標準方程，有三個未知數，再將兩個交點和圓心在直線x+y=0上列出三個式子求出未知數。

解：聯立方程組x-2y+4=0x2+y2-2x+10y-24=0解得交點為 A（0，2），B（-4，0）

設圓的標準方程為（x+a）2+（y-b）2=r2

由題意知：a+b=0（0-a）2+（2-b）2=r2（-4-a）2+（0-b）2=r2 解得 a=-3b=3r2=10

∴ 圓的方程為（x+3）2+（y-3） 2=10

點評： 待定系數法是一種基本、萬能的求圓的方程的方法，缺點：未知數有三個，運算量較大.

方法二： （直接法）

思路：先求出直線和圓的交點A（0，2） ，B（-4，0），再根據圓心在直線x+y=0 上用一個未知數假設出圓心坐標，利用圓的半徑相等|OA|=|OB| 列等式解出該未知數。

解：由方法一聯立方程組得交點為A（0，2），B（-4，0）

∵圓心在直線x+y=0 中 ∴ 設圓心O（x，-x）

由|OA|=|OB| 即（-4-x）2+x2=x2+（-x-2）2 解得x=-3

∴圓心O（-3，3） 半徑r=|OA| =（-3-0）2+（3-2）2=10

∴圓的方程為 （x+3）2+（y-3）2=10

點評： 若圓心在一條直線上， 可根據直線用一個未知數表示出圓心坐標， 從而簡化運算.

方法三： （幾何法）

思路：利用直線x-2y+4=0 的中垂線必過圓心且圓心在直線x+y=0上，聯立方程組求出圓心坐標，再利用兩交點求出圓的半徑。

解： 由上知聯立方程組得交點為A（0，2），B（-4，0）

∵直線x-2y+4=0 的中垂線必過圓心，

直線x-2y+4=0 的中垂為：2x+y+3=0

由2x+y+3=0x+y=0 解得x=-3y=3 ∴圓心O（-3，3）

半徑r=|OA|=（-3-0）2+（3-2）2 =10

∴ 圓的方程為 （x+3）2+（y-3）2=10

點評： 幾何法使得運算量更少.

方法四： （圓系方程法）

思路：根據圓系方程假設出圓的一般方程（一個未知數）， 寫出含有未知數的圓心坐標， 再根據圓心在直線x+y=0上， 求出該未知數。

解 設經過直線和圓交點的圓的方程為：x2+y2-2x+10y-24+λ（x-2y+4）=0 （λ∈R）， 即x2+y2+（λ-2）x+（10-2λ） y+4λ-24=0

∴ 圓心為（2-λ2，2λ-102） 代入x+y=0，解得λ=8

∴圓的方程為：x2+y2+6x-6y+8=0

點評： 運用圓系方程可減少設待定系數， 避開求交點， 減少運算量.

歸納： 對以上4種方法的對比， 發現圓系方程法在求經過直線和圓的交點的圓的方程（或經過兩圓交點時）是一種罕見、靈活的方法， 正所謂： 不識廬山真面目，只緣身在此題中。

參考文獻：

[1] 黃平海.線性規劃的“另類”應用[J].福建中學數學，2011（07）：44.

[2] 嚴士健. 普通高中課程標準實驗教科書數學必修二. 北京師范大學出版社.