初中數學教材中的轉化思想研究

胡曉飛 陳潔

【摘要】轉化思想是初中數學中最基本的思想方法之一。教師挖掘人教版初中數學教材中四個領域知識中所體現的轉化思想，把轉化思想方法的教學融入各個知識領域和章節之中，讓學生切實感受到轉化思想的意義和作用。

【關鍵詞】初中數學；轉化思想；教材

【基金項目】云南省教育廳項目課題（項目編號：2015Y481）。

數學思想蘊涵在數學概念、公式和法則的形成和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。《義務教育數學課程標準（2011年版）》把數學的基本思想納入課程的總目標，并要求教師在教學中引導學生獨立思考，體會和運用數學思想與方法。

一、對轉化思想的認識

轉化思想，又稱為化歸思想，是把尚未解決或難以解決的問題，通過適當地變換逐步歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終使原來的問題獲得解答的數學思想。

事實上，初中數學每章、每節都離不開轉化。在教學中，教師要充分尊重學生已有的知識經驗，引導學生將要解決的新問題轉化為已有的知識來解決，使學生在面臨陌生問題時有意識地調動已有的知識和方法，在條件和結論之間形成一條推理鏈，在每一步推理中尋找條件和結論的聯系，靈活運用等價變形，使思維過程向目標靠近，使解題過程柳暗花明。

二、轉化的原則

轉化的基本目的是把待解決的困難問題轉化為易于解決的問題，為達到這一目的，我們就應該在熟知的理論知識基礎上化繁為簡，化抽象為具體，化未知為已知，化一般為特殊，從而使待解決的問題得到解決。運用轉化思想時應遵循以下原則。

第一，數學化原則，即將與生活密切相關的實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識解決數學問題，從而使實際問題得以解決。

例如七年級上冊“實際問題與一元一次方程”，就是將生活中的配套問題、工程問題、銷售問題、電話計費問題、球賽積分問題，通過設未知數列方程，將實際問題轉化為數學問題（一元一次方程），通過解方程獲得了數學問題的解，從而解決了實際問題。再例如，想了解電子產品與中小學生視力的關系，城市的發展程度與空氣質量的關系，人們的幸福滿意度和生活質量的關系，都需要利用數學中統計的知識來解決。

第二，熟悉化原則，把陌生的問題轉化為熟悉的問題。運用已有的知識、方法來解決問題，有利于培養學生的探索能力和創新意識。

例如，探索多邊形的內角和公式，就是從三角形出發，把四邊形、五邊形通過添加輔助線轉化為三角形，從而尋找規律歸納出n邊形的內角和。再例如，二次根式的加減法，就是將相同的最簡二次根式看作同類項，再合并同類項。

第三，簡單化原則，把復雜的問題轉化為簡單的問題。通過對簡單問題（一般考慮特殊情形）的解決，獲得解題的啟示和依據。

例如，函數中的動點問題，若自變量是時間t，就可以把要研究的運動問題轉化為某一時刻的靜止問題，從而獲得因變量與自變量的關系。當然，在解決這類問題時還要考慮不同的時刻（點運動到不同位置）因變量與自變量的關系是否一致，若不一致則需要把所有可能出現的情形全部考慮到。再例如，在任意三角形、四邊形中探究角或邊的數量關系，可以先分析特殊情形（正三角形、正方形），先猜想出數量關系，再在一般情形中加以證明。

第四，直觀化原則，將抽象的問題轉化為比較直觀的問題（借助于圖形）來解決。數學的特點之一就是具有抽象性，學生理解起來非常困難，因此就需要將其轉化成具體問題（利用圖形的直觀性），利于學生更好地分析。直觀化是初中學生經常用到的，也是轉化思想中最能夠直觀理解的原則。

三、轉化思想在中學教材中的應用

初中學生面臨的大部分數學問題都可以綜合運用已有的知識來解決，或者轉化成某種能夠用已有的知識來解答的問題，從某種意義上來說就是不斷地轉化求解的過程，所以說轉化思想在初中教材中的應用非常廣泛。

四、在教學中滲透思想方法的教學策略

（一）提問引導，感知轉化

中小學的數學知識是環環相扣的，新知識的教學大多建立在學生已有的數學知識基礎之上。教師應該在概念、公式、解法的教學過程中滲透轉化的數學思想方法，通過問題引導，引發學生思考，使學生在嘗試解決問題的過程中感知轉化。

例如“有理數的減法”教學，教師首先創設溫度情境，讓學生解決溫差。學生通過分析，得到算式8-（-3）=（ ），從而揭示課題“有理數的減法”。緊接著，教師提問：這個算式的結果是多少？應該如何計算呢？在教師的引導下，學生獲得兩種常用的解法。法一：利用減法是加法的逆運算，做減法想加法，提出新問題（ ）+（-3）=8，將有理數的減法問題轉化為有理數的加法問題來解決。法二：利用溫度計（圖形），觀察8與-3相差多少格？很容易觀察到8格加上3格等于11。第一種方法運用了熟悉化的原則，將減法問題轉化為已經學過的加法問題來解決；第二種方法運用了直觀化原則，觀察圖形（溫度計）即可。最后對解法進一步深化，8-（ -3）=11，8+3=11，讓學生觀察這兩個算式及結果，發現并總結規律。最終學生獲得有理數的減法可以轉化為有理數的加法進行計算的結論。

（二）問題解決，加深轉化

問題是數學的心臟，數學知識的掌握水平主要體現了學生解決問題的能力。

1.化抽象問題成直觀問題。初中數學知識的抽象性隨著年級的升高而逐漸增強，對學生的抽象思維能力要求也越來越高。部分數學問題借助直觀圖形可以降低題目的難度。比如函數問題，一元一次函數、反比例函數及一元二次函數，利用已知條件畫出圖形，再觀察圖形可以獲得解題思路。特別是直線與函數圖像相交問題、面積問題的求解，還有排列問題，運用樹狀圖可以把可能出現的情況直觀地表示出來。

例：小明家有4件不同的上衣，2條不同的褲子，3雙不同的鞋子。小明要去上學，請問一共有幾種不同的穿法？

分析：他的上衣有4種穿法，而褲子有2種穿法，而鞋子有3種穿法。經過計算可知一共有4×2×3=24種穿法。第二種算法，我們可以用A、B、C、D表示上衣，用E、F表示褲子，用G、H、L表示鞋子。用樹狀圖表示出來如下。

通過數從上到下連線的條數，就能得出有24種穿法。運用法一可以節約時間，但是學生不容易理解，只知道這道題可以這樣計算，題目稍作改變，就容易出錯，不能靈活運用到其他的排列問題當中；法二雖然解題過程復雜，但是直觀，易于學生理解，因此學生能將這種方法運用到排列的其他題型中。

2.化繁為簡的策略。學生在解題過程中會遇到許多比較復雜的問題，直接解答會很困難，如果能夠通過某種轉化，將題目化為容易解答的數學問題，就能更好地解答。化繁為簡的策略通常運用在代數式的求值中。

例1：計算代數式 的值，其中 .

分析：若直接把 代入式子計算，會增加計算量，也容易出錯，所以這類問題應該先化簡再代值.

解：化簡原式得 .得到最簡式.再把 代入 ，最后得出答案1.

例2：證明無論 取何值，方程 總有兩個不相等的實數根.

分析：該題是關于一元二次方程的根的個數問題， 應先把方程化為標準方程，再利用判別式判斷.

解：先化簡方程，將方程化為一元二次方程的標準式 ，可以得到 ，再根據判別式 ，可知無論 為何值，總有兩個不同的解.

教師要把轉化思想方法的教學融于各個知識領域和章節之中，讓學生切實感受到轉化思想的意義和作用：在有理數、無理數和實數的概念形成過程中通過直觀化原則滲透轉化的數學思想；在定理、公式、解法的探究過程中深化轉化思想；在分析、解決數學問題的過程中領悟轉化思想。

【參考文獻】

[1]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014：57-58.