雙軸壓力下的壓縮損傷變量

崔 崧, 呂 嫣, 李慧玲,3

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 遼寧省射線儀器儀表工程技術(shù)研究中心, 沈陽(yáng) 110034; 3. 電子科技大學(xué) 物理學(xué)院, 成都 611731)

0 引 言

分析含缺陷的材料在各種載荷作用下的力學(xué)響應(yīng), 是損傷力學(xué)重要的研究?jī)?nèi)容。 損傷問題連接著細(xì)觀與宏觀兩端, 因此其研究方法也有宏觀[1-4]和細(xì)觀[5-8]之分, 而將宏觀、細(xì)觀的理論和方法綜合在一起研究的方法, 即在細(xì)觀結(jié)構(gòu)與宏觀力學(xué)行為之間建立某種聯(lián)系, 是今后損傷力學(xué)發(fā)展的主要趨勢(shì)。

復(fù)雜應(yīng)力條件下的損傷問題一直是許多學(xué)者熱衷解決和討論的。對(duì)于閉合裂紋,裂紋面間的正應(yīng)力既影響了材料的拉伸和壓縮性能,又因?yàn)樗€決定了在剪切作用下裂紋面間是否摩擦滑動(dòng)[9-11],所以還影響了材料的剪切性能。研究裂紋面的正應(yīng)力的影響,是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。

1 含裂紋單元體的單向拉伸本構(gòu)關(guān)系

考慮一個(gè)如圖1所示的含一條裂隙的無(wú)限大薄板,其中,裂隙長(zhǎng)度為2a,沿如圖x軸方向,在薄板遠(yuǎn)端沿y軸方向施加了均勻拉伸q。

再考慮一塊在薄板的裂紋周圍截取的代表性單元,如圖2所示,裂紋對(duì)稱位于該單元中央,該單元長(zhǎng)度為2l,高度為2h。

圖1 遠(yuǎn)端受均勻拉伸載荷的薄板Fig.1 Plate under remote tension

圖2 中心含裂紋的代表性單元Fig.2 Element with crack in the center

平面應(yīng)力下薄板內(nèi)部的位移分量可用如下復(fù)變函數(shù)公式表示[12-13]

(1)

式中,E為材料楊氏模量,μ為泊松比,在圖1的加載條件下,復(fù)變函數(shù)φ1(z)、Ψ1(z)的表達(dá)式為[12]

(2)

利用式(1)和式(2),可得圖2中單元體邊界y=h上各點(diǎn)沿y軸方向的位移為

該邊界上的平均位移為

單元體沿y軸方向的總體線應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

其中D2=2πa2/hl[(3-μ)f1+(1+μ)f2]為拉伸損傷變量。

圖3和圖4分別為在l/h=1的條件下,f1、f2和D2隨a/l的變化曲線,其中取μ=0.333。

圖3 f1,f2隨a/l的變化曲線Fig.3 f1,f2-a/l relation curves

圖4 D2隨a/l的變化曲線Fig.4 D2-a/l relation curve

2 有側(cè)壓時(shí)的壓縮本構(gòu)關(guān)系

假設(shè)圖2中的單元體是從圖5所示的一個(gè)無(wú)限大薄板中截取的,其中薄板遠(yuǎn)端在x軸方向作用有均布?jí)毫1,y軸方向作用有均布?jí)毫2,根據(jù)文獻(xiàn)[15],裂紋面間的正應(yīng)力q3的表達(dá)式為

圖5 遠(yuǎn)端受雙軸壓力的薄板Fig.5 Plate under remote biaxial compression

薄板由q3單獨(dú)作用時(shí),式(1)中的復(fù)變函數(shù)φ1(z)、Ψ1(z)的表達(dá)式為[12]

由上式,可求出單元體在q3單獨(dú)作用時(shí)邊界y=h處上各點(diǎn)沿y軸方向的位移

與式(3)類似,單元體在q2、q3共同作用下,在y軸方向的總體線應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

與f1、f2類似,上式中的f3、f4是僅與a/l及l(fā)/h有關(guān)的無(wú)量綱的2個(gè)量,且

利用式(1)和q2、q3共同作用下復(fù)變函數(shù)φ(z)、Ψ1(z)的疊加形式,可得裂紋面上的位移

利用上式,由σy=Eεy,可得單元體在y軸方向的壓縮應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系為

(5)

圖隨a/l的變化曲線

圖隨q2的變化曲線

3 結(jié) 論

通過彈性力學(xué)理論平面問題的復(fù)變函數(shù)解法,分析了含裂紋的代表性單元在雙軸壓力的邊界和裂紋面上的位移,再通過平均化的方法,得到了在此種加載條件下的壓縮本構(gòu)關(guān)系和壓縮損傷變量。計(jì)算表明,裂紋面間的正應(yīng)力在某些情況下對(duì)材料的壓縮性能的影響不可忽視。這種分析方法還可應(yīng)用于其他復(fù)雜加載情況的研究。