高溫作業服裝材料厚度的設計

李寧舟，郝歐亞，汪憲宏，吳宇航

（1.華北理工大學數學建模創新實驗室，河北 唐山 063210；2.華北理工大學化學工程學院，河北 唐山 063210；3.華北理工大學電氣工程學院，河北 唐山 063210；4.河北省數據科學與應用重點實驗室，河北 唐山 063210；5.唐山市數據科學重點實驗室，河北 唐山 063210）

0 引言

為設計高溫作業專用服裝，首先在外界溫度為75℃的高溫環境下進行實驗，記錄假人表面溫度，利用熱阻計算方法及傅里葉定律，根據專用服裝材料的參數值，可求出導熱方程中的相關系數；其次通過表示一維熱傳導方程[1-2]，利用泰勒級數展開可得到溫度與x和t的偏導關系，選取適當的步矩，利用差分方程求解出各層溫度的具體分布；最后利用二分法思想，以Ⅱ層的厚度為y軸，Ⅳ層的厚度為y軸建立直角坐標系，若滿足約束條件，則在閉合區域內繼續進行二分法的劃分，若不滿足約束條件，則在閉合區域外進行二分法的劃分，最終可得到Ⅱ層及Ⅳ層的最優厚度。

1 計算高溫作業服裝溫度分布

1.1 穩定溫度分布

高溫作業專用服裝通常由三層織物材料構成，第Ⅲ層與人體皮膚之間的空隙可以稱為第Ⅳ層，也就是說在外界環境與假人皮膚之間一共存在四層介質。當外界環境溫度為75℃時，根據實驗數據可以發現在穩定狀態下假人皮膚外側的溫度為48.08℃。建立直角坐標系，沿x軸方向依次為Ⅰ層、Ⅱ層、Ⅲ層、Ⅳ層，各層的厚度分別為d1、d2、d3、d4。因專用服裝中三層織物間無空隙，故設定五個溫度分別為t0、t1、t2、t3、t4。

利用熱阻計算方法和傅里葉定律[3]得到R=d/λ、ti=ti-1-qRi、q=ti-ti+1/Ri， 可 求 出 在 穩 定 狀 態下這四層介質的穩定溫度為：t3=61.89511℃，t4=48.08℃。得到穩定狀態下這五個溫度的變化趨勢如圖1所示。

圖1 四層介質的穩定溫度分布Fig. 1 Stable temperature distribution of four layers of medium

1.2 溫度分布

將溫度T(x,t)在(x0,t0)點沿x向前和向后泰勒級數展開Δx，有

將T(x,t)在(x0,t0)點沿t向前泰勒級數展開Δt，有

由上式可知每個位置各個時刻的溫度可與之前一個時刻3個相鄰位置點的溫度獲得，如圖2所示，點(i, j)的溫度受周圍(i-1, j)、(i+1, j)、(i,j+1)三點溫度的影響，步長Δt和Δx的取值越小，數值解精度越高。

圖2 溫度變化的影響Fig. 2 Influence of temperature change

根據該穩定條件λ2/cρ≤1/2，可得其中，初始條件為：T(0, t)=75，T(0, 6, t)=37，T(6, 6, t)=37，T(10, 2, t)=37，T(15, 2, t)=37(t≥0)；T(x, 0)=37(0＜0＜15.2)。當步長取 Δt=0.01s，Δx=0.1 mm時：

利用Excel來進行高精度一維熱傳導方程數值解。

2 設計高溫作業服裝材料厚度

二分法是指假設待查找序列和題目的要求之間的關系是單調遞增的，先取區間中心，判斷該處函數值和題目標準值的大小關系，如果函數值偏小，那么應該在中心右側的區間繼續查找；如果函數值偏大，那么應該在中心左側區間繼續查找，直到找到對應的值或者區間縮小到左右端點之間不再包含其他數據結束。選取步長Δt"=0.01s，Δx"=0.1mm來進行計算。

利用迭代計算功能[2]來進行數據處理時，可以用對專用服裝表面溫度分布進行計算；用差分方程對于服裝內部溫度分布進行計算。以Ⅱ層的厚度為x軸，Ⅳ層的厚度為y軸建立直角坐標系，如圖3所示，0～x0代表Ⅱ層的厚度范圍，0～x1代表Ⅳ層的厚度范圍。x0、x1分別沿垂直x軸、y軸做直線交于一點形成閉合區域0x0Px1，取0x0的中點x2和0x1的中點x3，讓x2、x3分別沿垂直x軸、y軸做直線交于一點形成閉合區域0x2P0x3。若P0點滿足該約束條件，則在區域0x2P0x3內部繼續進行二分法的劃分，若P0點不滿足該約束條件，則在區域0x2P0x3外部繼續進行二分法的劃分。以此類推，直至找到符合條件的最優解。

圖 3 二分法設計方案Fig.3 Dichotomy design scheme

當外界環境溫度為80℃，Ⅰ層厚度為0.6mm，Ⅲ層厚度為3.6mm。約束條件為在當前環境下工作30分鐘，假人體皮膚外側的溫度不超過47℃，并且超過44℃的時間不超過5分鐘。在該約束條件下，經過判斷，P0點滿足該約束條件，則在區域0x2P0x3內部繼續進行二分法的劃分，最終找到最優解，得到Ⅱ層的最優厚度為7.6mm，Ⅳ層的最優厚度為1.6mm。

當Ⅱ層的厚度為7.6mm，Ⅳ層的厚度為1.6mm時體表溫度隨時間變化情況如圖4所示。

圖4 最優情況下體表溫度隨時間變化Fig. 4 Variation of body surface temperature with time under optimal conditions