多講點(diǎn)生活中通俗的數(shù)學(xué)故事

李凌

田忌賽馬的故事廣為流傳。戰(zhàn)國時期齊威王與大將田忌賽馬，二者各有三匹好馬：上馬，中馬與下馬。比賽分三次進(jìn)行，由于兩者的馬力相差無幾，而齊威王的馬分別比田忌的相應(yīng)等級的馬要好，所以一般人都以為田忌必輸無疑。但是田忌采納了門客孫臏的意見，分別用自己的下馬、上馬、中馬，對齊威王的上馬、中馬、下馬，結(jié)果田忌以2比1勝齊威王。這是我國古代運(yùn)用對策論思想解決問題的一個范例。這則故事敘事簡潔，寓意深刻，學(xué)生從中能很容易領(lǐng)悟到的是：遇事不能蠻干，要善于思考，不同的策略可能會導(dǎo)致截然相反的結(jié)果！

“雞兔同籠”是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》就記載了這個有趣的問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

解答思路是這樣的：一、假如雞和兔同有四條腿，則應(yīng)有140條腿，相比94多了46條腿，每2條腿對應(yīng)一只雞，則雞的數(shù)量為23，兔為22。二、反過來假設(shè)兔同雞一樣為2條腿，則腿總數(shù)為70，相比94少了24條腿，每2條腿對應(yīng)一只兔，則兔的數(shù)量為22，雞為23。三、假如砍去每只雞、兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只，而此時籠子里每多一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。因此，腳的總數(shù)47與頭的總數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)22，雞的只數(shù)為23。這一“砍足法”思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問題。

數(shù)學(xué)中的悖論有趣而發(fā)人深省。如著名的“理發(fā)師悖論”：某理發(fā)師約定只為不自己刮臉的人刮臉，不為自己刮臉的人刮臉。乍一看清晰明了，沒啥問題，但當(dāng)?shù)诙煲辉缋戆l(fā)師自己為自己刮臉時問題來了：他若為自己刮臉，那他是個“自己刮臉的人”，按照約定他不應(yīng)當(dāng)為這類人刮臉；他若不為自己刮臉，那他是個“不自己刮臉的人”，按照約定他應(yīng)當(dāng)為這類人刮臉。結(jié)果是他刮不刮臉都違反了自己的約定。

古希臘的學(xué)者曾經(jīng)提出一個著名的“龜兔賽跑悖論”：烏龜先爬了一段在A1點(diǎn)，兔子在起點(diǎn)B點(diǎn)。兔子想要追上烏龜，就必須到達(dá)烏龜開始所在的點(diǎn)A1。但當(dāng)兔子到達(dá)A1點(diǎn)時，烏龜又爬了一段到達(dá)A2點(diǎn)（它們之間的相對距離減小了）。然后兔子又必須追趕到達(dá)A2點(diǎn)，可是此時烏龜又到達(dá)A3點(diǎn)（它們之間相對距離繼續(xù)縮小）。兔子想追上烏龜必須到達(dá)A3點(diǎn)，可是烏龜已經(jīng)爬到A4點(diǎn)……這樣下去，兔子和烏龜之間的距離會越來越小，一直跑下去，兔子和烏龜之間的距離會達(dá)到無窮小，但兔子無論如何也追不上烏龜----但這明顯違背生活常識。數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”，這一“龜兔賽跑悖論”實(shí)際上屬于“貝克萊悖論”的不同表述形式。籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。有趣的悖論能有效引發(fā)學(xué)生思考問題，提高學(xué)習(xí)效率。

（作者單位：無錫機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）