代數多項式零點的位置

摘 要：由代數學基本定理可以知道，n次代數多項式有n個零點（其中幾重根算幾個零點）.本文主要討論形如的n次代數多項式的零點的位置.第一節討論任意系數的代數多項式的零點的分布，對一個任意系數的代數多項式，其零點都在某一個圓環內，此圓環大小和位置由多項式的系數決定；第二節討論系數有一些特殊的代數多項式的零點的位置，如系數是實數的代數多項式的零點位置.

關鍵詞：代數學基本定理；代數多項式；零點.

[中圖分類] O17

一 一般系數代數多項式的零點位置

此節討論系數為任意數的n次代數多項式的零點的范圍.為了討論n次代數多項式的零點位置，讓我們先來看一個引理：

引理1 若，則多項式

只有一個正零點.

證明 當時

=，

若要使，則必有.

因為，又因為我們要討論的是函數的正零點，則在的情況下，函數 必是單調遞減的，且當時，；當 時，.由連續函數介值定理可得，必然存在唯一一點，使得，因此只有一個正的零點.

由引理1及其證明過程，我們可以證明一個關于代數方程根的位置的定理：

定理1 對于多項式

的任何一個零點，必有不大于多項式

（1）

的唯一正零點；不小于多項式

（2）

的唯一正零點；

證明（1）是多項式的一個零點.則代入得

.

由此可得：

，

則.

由引理1可知：；

（2）由可知，不是的零點.

假設是的零點，則是的零點，進而也是的零點，

.

假設的唯一正零點是，則由（1）得：，即.

又因為

兩邊同乘，則有

，

，

即：是的唯一正零點，

由此：.

由（1）（2）得，結論成立，證畢.

定理1說明了代數多項式零點的大致位置，我們只要求出 與即可，而解一個實系數方程的唯一正根這一問題本身是比解一個復系數方程簡單而具體的，由此可見定理1還是有一定可行性的，在這里我們來看一個比較簡單的例子.

例1 求多項式的零點的位置.

解 假設為的一個零點，由題意：的唯一正零點是，則由定理1得 .

由此，可見此多項式的零點在以原點為圓心，為半徑的圓周上.

從例1來看，由定理1 得出的是一個比較完美的結論，但是很多實例并不是像定理1一樣完美，因為不是每一個實系數代數方程都可以像例1中的方程一樣容易得到一個很好的解，為了防止出現這種情況，我們再引入另一個定理：

定理2 若是的某一零點，則

，

其中是正數，且；

證明 設，假設 .

由引理1與定理1可知，必有

此時我們只要證明此式成立即可，又因為

由此可得，結論成立.

對于定理2，如果能適當的選取（）的大小，就可以很方便的得到方程根的適當位置，此處提供幾個可供選擇的的特例，僅供參考：

（1）；

（2）；

（3）.

二 特殊系數代數多項式零點位置

第一節討論的是任意系數代數多項式的零點的范圍，在本節我們來討論系數特殊的代數多項式的零點的范圍：

引理2 對次多項式，若系數有這樣的關系：，則在單位圓內有個零點；

證明 令，

.

因為，則在單位圓周上有.

又因為在單位圓內有個零點，則由儒歇定理得：在單位圓內也有個零點.

由引理2，我們可以得到另一個定理：

定理3 若為多項式的某零點，

若有

，則必在單位圓內；

若有

，

則必在單位圓外.

在這里有一個很有意思的結論，這是對于實系數代數多項式來說的：

結論1 對于多項式

，

若有

，

則的零點必在單位圓外.

證明 用反證法：

（1）對于單位圓盤，當時

=

由此可知；

（2）當時，直接代入得：；

由（1）（2）可知，多項式的零點不可能在單位圓盤內.

可以看出，代數方程根的位置與系數之間的關系是很密切的，如果能方便的找到這種關系，就能很容易確定根的位置，下面這個定理就很明白的說明了這一點.

定理4假設多項式的系數都是正的，則它的零點位于圓環內，其中，.

證明 設.

（1）用代替z，則的零點為，

因

，

由結論1，只要，則的零點不在內.

即只要（），就有的零點不在內，也就是當時，的零點在上；

（2）用代替z，則的零點為.

此時

，

即：.

由結論1，只要

，

則的零點不在內.

即只要

（），

就有的零點不在內.即當時，也就是時，的零點不在內.由此：的零點在內.

由（1）（2）得：多項式的零點位于圓環內.

上面的定理3，定理4實際上討論的都是特殊的具體問題，雖然并不如定理1，定理2一樣可用于任何一個代數方程，卻為求一些出現頻率很高的代數多項式零點的位置找到了很好的解決方法，這是值得借鑒的.

結論

本論文探討的是代數方程根的位置問題，從兩個方面討論了代數多項式的零點的位置，從而為解決代數方程的根找到了一個比較可靠的檢驗方法，雖然還并不很完善，但是此方法還是有一定效果的，并可以運用于實踐.本論文還存在一些漏洞，這有待于繼續研究.

參考文獻

[1]鐘玉泉.復變函數論.北京：高等教育出版社，1988.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數.北京：高等教育出版社，1998.

[3]G.波利亞，G.舍貴.數學分析中的問題和定理.上海：上海科學技術出版社，1981.

作者簡介

聶海燕（1969—），女，山西晉中人，講師，山東省淄博職業學院教師，主要從事數學科研與教育教學工作。

（作者單位：淄博職業學院）