數形結合思想在高中數學解題中的應用研究

施路成　王德江

摘 要 數形結合思想幾乎貫穿了整個高中數學，數形結合思想在高中數學中的應用非常廣泛，文中介紹了數形結合思想在集合中的應用，在方程與不等式中的應用，在函數最值問題中的應用等。同時也培養了學生們學習數學的思維能力，提高了學生學習數學的興趣。正如華羅庚先生說的“數學思想百般好”。

關鍵詞 數形結合 數學解題 數學應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

在教育改革的浪潮中，數學思想對數學教學和數學課程都產生了巨大影響，其中數形結合思想占了重要的作用，同時對數學教學也產生了深刻的影響。數形結合思想不僅研究了幾何的直觀性，也分析了代數的意義，它使代數的精確性與幾何的直觀性更加完美的結合在一起。數形結合思想貫穿整個高中數學體系，它是高中數學課程的一條主線，它是我們解決數學問題的一種方法，它是我們探索和研究數學的重要指導思想。

1數形結合思想在高中數學中的應用

1.1數形結合思想在集合中的應用

在集合的計算中，我們通常采用Venn圖，數軸來解決集合的交，并，補集的運算。這樣有助于讓學生掌握對集合的運算。

例1：若集合 是小于9的正整數，，且， ，試求A與B。

解：通過Venn圖我們可以清晰看出答案，即，

1.2數形結合思想在方程與不等式問題中的應用

利用二次函數圖像來解一元二次方程根的分布情況，二次函數其中的圖像與x軸交點的橫坐標為方程的實根，即。

例2：一元二次方程的一根在上，另一根在上求的取值范圍。

分析：用二次函數圖像來研究根的分布情況，可以得出不等式與式子的幾何意義。

二次函數圖像圖 三角形ABC圖

解：由的兩個根分布在區間與上的幾何意義為與軸兩交點的橫坐標分別在區間，內。

由此可知

上式表示的點集是三角形的內部

解得

解得

點解得

而的幾何意義是點與點連線的斜率.

即， =

小結：用數形結合的方法來解題目的時候，有些題目只用到端點值就可以解出來，然而有些的題目不僅要用到端點的值，而且還要用到對稱軸和根的判別式。此題即用到了端點值，也用到了對稱軸，最后通過幾何轉換，求出取值范圍。

1.3數形結合思想在函數最值問題中的應用

最值問題是比較常見的數學問題，在生產與應用中也比較廣泛。也是歷年高考的高頻考點之一。在高考中，它常與三角函數，不等式，二次函數以及一些幾何知識緊密聯系在一起。最值問題可以用不等式的知識來解，但用不等式計算時，計算量非常的大。我們可以考慮用代數式的幾何意義，根據幾何圖形求最值問題。

例3：已知滿足求的最大值與最小值。

分析：在橢圓求最值問題，一般用構造直線截距的方法來解題。

令則問題轉化成在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，求軸上截距最大值與最小值。

解：由圖可知，當與相切時，與軸有最大截距與最小截距。

即

由解得。故的最大值為，最小值為。

小結：數學中，數字缺乏直觀性，圖像缺乏嚴謹性，當二者結合時相互取長補短，本題就是通過觀察圖像列出等式，通過代數計算得出答案。

2數形結合思想在高考試題中的應用

數形結合思想能夠幫助學生更好更快的解決高考題，尤其高考題中的選擇和填空題更能突出數形結合的作用。下面用一道高考試題說明數形結合的作用。

例4：求方程lgxsinx=0解的個數。

A 1 B 2 C 3 D 4

分析：方程解的情況，可化為的情況，也可以看作函數與函數兩函數圖像交點的橫坐標情況，所以只要精確畫出兩個函數在同一區間的圖像，就很容易看出它們有幾個交點，得到交點的個數就是原方程解的個數。

交點個數圖

因為， 所以兩個函數在同一區間有3個交點，所以解的個數有3個，故選C。

3運用數形結合思想應遵循的原則

第一，等價原則，在運用數形結合思想時，代數性質與幾何性質的轉化必須是等價的。

第二，雙向性原則，運用數形結合思想時，一方面對幾何的直觀性進行分析，另一方面對抽象的代數問題進行探究，兩個方面同時進行，如果只考慮一方面進行解題，在很多時候是很難行得通的。

數形結合思想雖然提高了學生們的解題效率，和準確率，但是數形結合思想也有其缺陷，它不適用于所有題目，有的題目運用數形結合思想來計算就算不出來準確答案，所以學生在運用數形結合思想解題時要慎重考慮。

參考文獻

[1] 劉露露.探究高中數學教學中的數學思想方法[D].長春：東北師范大學，2013.

[2] 胡玉靜.數形結合思想在高中數學教學中的應用與分析[D].信陽：信陽師范學院，2015.

[3] 郝文麗.淺談數形結合思想在數學解題中的幾點應用[J].魅力中國，2014（25）：245-245.

[4] 張樹錦.活用“數形結合”，提高解題思維[J].語數外學習（高中數學教學），2014（06）：80.