兩比例失效率元件組成串聯系統元件冗余與系統冗余的隨機比較*

張建東，顏榮芳

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

隨著經濟全球化的迅猛發展, 經濟產業精細化程度越來越高, 物流運輸、銀行支付、電商服務等大型復雜系統的矛盾日益凸顯, 其中如何提高和改善大型復雜系統的可靠性成了經濟發展過程中亟待解決的重要問題. 例如, 全球生產商(華為, 微軟等)努力提高產品供應鏈系統的可靠性, 第三方支付公司(阿里, Paypal等)竭力保障系統的可靠性與安全穩定性. 因此, 在經濟高速發展的時代研究大型復雜系統的可靠性與安全性變得尤為重要.

在各種各樣的大型復雜系統中, 每一個元件的壽命越大, 整個系統的壽命也越大, 將這樣的系統稱為協同系統(Barlow and Proschan(1975)[1]). 根據元件的連接方式, 又將協同系統分為n中取k系統、并聯系統、串聯系統.為了有效地研究復雜系統的可靠性, 借助最小路集的理論, 可將協同系統等價為多個串聯系統的并聯; 同時, 通過最小割集的方法, 將協同系統等效為多個并聯系統的串聯. 因此, 為了研究并聯系統與串聯系統的可靠性問題, 首先需要建立復雜系統的可靠性理論. Barlow and Proschan(1975)在普通隨機序下給出了串聯系統中元件冗余優于系統冗余的結論(BP原理). Boland等(1992)[2]分別考慮了由兩個壽命獨立異分布元件組成的串聯系統和并聯系統的熱冗余元件和冷冗余元件的分配問題, 就如何分配冗余元件給出了一些充分條件, 并得到了冗余系統壽命比較的普通隨機序. 基于Boland等(1992)的研究, Singh等(1994)[3]在所有元件壽命服從指數分布的條件下, 討論了串聯系統的熱冗余分配問題, 給出了冗余系統壽命比較的失效率序, 同時還考慮了由兩個元件組成的并聯系統的冷單冗余分配問題, 得到了冗余系統壽命比較的隨機占優序. Valdés等(2006)[4]考慮了兩個獨立異分布的初始元件組成的串聯系統中的熱冗余分配問題, 分析了元件失效率對分配策略的影響, 給出了冗余系統壽命比較的失效率序. 鑒于Singh等(1994)的研究, Li等(2008)[5]討論了兩個元件組成串聯系統的熱單冗余分配, 建立了冗余系統壽命比較的增凸序與隨機占優序, 而對于兩個元件組成并聯系統的冷單冗余分配, 得到了冗余系統壽命比較的隨機占優序. Brito等(2011)[6]給出了冗余系統壽命比較的反失效率序, 進一步豐富和完善了Valdés等(2006)的結果. Li等[7]在隨機占優序下比較了兩個溫備元件的分配問題. Zhao等(2012)[8]進一步將Singh等(1994)的結論從失效率序推廣到似然比序, 同時還討論了由兩個元件組成的并聯系統的冷單冗余分配問題, 給出了冗余系統壽命比較的似然比序. Nanda等(2013)[9]在一般的協同系統中將BP原理推廣到了反失效率序以及似然比序. Hazra and Nanda (2014)[10]在一般的協同系統中將BP原理推廣到了失效率序. Zhao等(2015)[11]對于溫備情形, 在串聯系統中給出了BP原理的似然比序, 在并聯系統中給出了BP原理的普通隨機序；對于熱備情形, 在串聯系統中也給出了BP原理的似然比序. Zhao等(2017)[12]研究了由n個元件組成的串聯系統的冗余分配問題, 將Zhao等(2012)的結論從兩個元件的情形推廣到n個元件的情形. Yan等(2016)[13]研究了由n個壽命獨立異分布的初始元件組成串聯系統的熱單冗余分配問題, 在反失效率序意義下給出了冗余的分配策略, 將Valdés等(2006)的結果從兩個初始元件推廣至多個初始元件的情形, 同時將Brito等(2011)的結論從匹配情形推廣到不匹配情形. 在匹配情形下, 大多數的文獻都是基于元件壽命服從特定分布(例如指數分布, Gamma分布和Weibull分布等)的假設進行研究, 在各種隨機序下對冗余分配策略作出隨機比較. 然而在現實生產活動中, 元件的壽命往往是未知的, 使特定分布下得到的冗余分配方案不再具有一般性. 因此, 在元件服從一般壽命分布的條件下, 如何有效地改善與提高系統的可靠性與穩定性成為了可靠性理論與可靠性工程中面臨的重大問題. 有關冗余分配理論更多的討論可參閱You and Li(2014)[14], Da and Ding(2016)[15]和Fang and Li(2018)[16]等文獻.

不同于以上文獻, 這里主要研究了兩個比例失效率元件組成的串聯系統, 在元件壽命相互獨立的條件下, 對于元件冗余與系統冗余兩種分配方式, 分別在普通隨機序、失效率序、反失效率序下作出了討論, 得到了元件冗余是最優分配策略的結論.

2 模型假設及符號說明

(ⅲ)若對于任意的x∈R,FY/FX關于x是遞增的,則稱X反失效率序下小于Y.記作X≤rhY.

眾所周知, 失效率序與反失效率序都蘊含了普通隨機序, 然而失效率序與反失效率序之間并沒有必然的聯系, 由普通隨機序既不能得失效率序也不能得失效率序.有關隨機序詳細的討論可以參閱Shaked and Shanthikumar(2007)[17]和Müller and Stoyan (2002)[18].

為了提高系統的可靠性, 經常給系統元件附加冗余元件, 根據元件附加方式的不同, 可以將冗余分配方式分為元件冗余(見圖1)與系統冗余(見圖2), 所謂元件冗余是指給系統中的每一個初始元件附加一個冗余元件, 系統冗余是指給原始系統并聯一個冗余元件組成的系統. 其中元件冗余又可分為熱備份和冷備份,熱備份是指初始元件與冗余元件壽命的最大值, 而冷備份是指初始元件與冗余元件壽命的卷積.本文將考慮兩比例失效率元件元件組成的串聯系統, 對元件冗余方式與系統冗余兩種分配策略作出隨機比較, 得到最優的分配方案.

圖1 元件冗余

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)表示圖1中的元件冗余的壽命，τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)表示圖2中的系統冗余的壽命.

圖2 系統冗余

3 元件冗余與系統冗余的隨機比較

定理1假設X1,X2是兩個獨立的隨機變量分別具有比例參數λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個獨立的隨機變量分別也具有比例參數λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥st

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明使用元件冗余方案時, 串聯系統的可靠性函數為

采用系統冗余策略時, 串聯系統的可靠性函數表達為

將兩種方案的可靠性函數作差, 即

至此, 定理1得證.

定理2設X1,X2是兩個獨立的隨機變量分別具有比例參數λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個獨立的隨機變量分別也具有比例參數λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥hr

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明為了建立元件冗余與系統冗余的失效率序, 將元件冗余與系統冗余方案的可靠性函數作比值, 即

因此，

所以y2(x)關于x是遞增的, 故完成了定理2的證明.

定理3設X1,X2是兩個獨立的隨機變量分別具有比例參數λ1,λ2,Y1,Y2是另外兩個獨立的隨機變量分別具有比例參數λ1,λ2, 那么

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥rh

τ(X)∨τ(Y)=(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)．

證明為了得到元件冗余與系統冗余的失效率序, 將元件冗余與系統冗余方案的分布函數作比值, 即

進一步有

不失一般性, 假設0<λ1≤λ2, 從而有

4 結 論

對于兩組比例失效率元件組成的串聯系統, 將元件冗余與系統冗余兩種方式在普通隨機序、失效率序、反失效率序下做出了隨機比較, 得到了最優的冗余方案, 元件冗余優于系統冗余, 即

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥st

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y);

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥hr

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y);

τ(X∨Y)=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2)≥rh

(X1∧X2)∨(Y1∧Y2)=τ(X)∨τ(Y).

這里只討論了熱備冗余情形下, 兩組比例失效率元件組成的串聯系統元件冗余與系統冗余的最優分配問題.對于串聯系統、串聯系統、協同系統的溫備情形, 或者相依元件組成系統的冗余分配問題, 為確定冗余系統的分布函數帶來了極大地困難, 一些關鍵的理論問題依然懸而未決, 一些富有挑戰性的應用問題亟待解決, 這將是以后的研究方向.