動態價格下Logistic生長模型的捕獲問題*

張 廣，張 敏，宋冰潔

(1．天津商業大學 理學院，天津 300134；2．天津商業大學 經濟學院，天津 300134)

1 引 言

近年來，如何有效利用魚類、蝦類這樣的漁業資源，實現可持續開采、較好經濟效益的同時不造成勞動成本的浪費，一直是生物學家和經濟學家關注的熱點問題. 早先就有著名的生物學家Malthus(1798)和P.F.Verhulst(1938)對生物種群數量的變化過程進行了研究，建立了眾所周知的Malthus模型和Logistic模型. 此類模型均描述的是種群在自然環境下的增長規律，未考慮種群受人類開發這個因素. 而在現實生活中，尤其漁業資源是受人類開發利用的. M.B.Schaefe最早提出了金槍魚的一般生產模型，即對金槍魚的開發利用模型. 在此基礎上，1954年Gordon[1]提出了新的經濟理論——凈利潤等于總收入減去總成本，把價格成本引入了生物經濟模型,并假定所收獲的單位生物量價格和捕撈成本是常數. 1969年Smith提出了一種新的數學模型，它利用凈利潤來描述人類行為與種群開發的動態關系，即漁業賺錢，捕魚者增多(種群開發增強)，自然捕獲量也增多. 魚多了價錢就會下降，進而漁業沒錢可賺，捕魚者隨之減少(種群開發減弱). 也就是說種群的密度(或數量)和捕獲努力量(種群開發程度)之間是一個自反饋控制，即開放式漁場的自反饋捕獲模型. 在文獻[2-4]中都對開放式漁場的自反饋捕獲模型進行詳細的定性分析和研究，并且文獻[3]從經濟角度出發，開始將價格作為變量處理. 而事實上，市場價格一成不變顯然是不可能的. 所捕獲魚的價格與消費者的需求量，魚的市場供給量有密切的關系. 在此基礎上，2001年王克，范猛等[5]在借鑒文獻[2，6]的基礎上對價格進行新處理——受供求關系影響的代數形式的價格. 而后大量文獻[7-15]從經濟效益角度出發研究捕獲問題，里面的價格均以代數形式處理. 與此同時也有文獻[16]和文獻[17]分別以最大可持續量為目標對帶有周期系數單種群和經濟效益最大時種群的捕獲時間進行研究. 綜上可以看出有眾多文獻對種群捕獲問題都進行了研究，經濟效益是大家所普遍關注的重點問題，進而價格問題也顯得尤其重要. 雖然已有的文獻可以反映出價格是受供求關系影響的，但是經濟系統是動態的，經濟變量是隨時間變化而改變的，故價格以代數形式處理并不符合市場規律，文獻[18]中建立了由微分方程刻畫的非線性價格調整模型. 根據價格理論，需求曲線是向右下方傾斜的，表示商品的需求量和價格是反方向變動的關系. 同樣供給曲線是向右上方傾斜的，表示商品的供給量和價格是同方向變動的規律. 需求曲線和供給曲線是線性或非線性的，在不影響結論的前提下，為簡化分析，經濟學中大多采用線性處理. 本文以下也將按線性處理.

本文基于價格受市場供求關系的變化，首先建立一種新型的動態價格下的捕獲模型. 其次計算出均衡點并對穩定性進行了證明和動力學分析. 再次，做了數值模擬且從生物經濟學角度進行了解釋. 最后得出結論給出建議.

2 模型的建立

開放式漁場的自反饋捕獲模型[1]為：

(1)

其中，s表示t時刻某類魚種群的密度或數量，E表示t時刻捕獲努力量，p表示價格，w表示單位投入成本，v是正常數，表示捕獲努力量與凈利潤的大小成正比.

模型(1)中，價格p是常數. 在實際的市場經濟中，市場需求和市場供給決定了市場的出清價格. 這里假設需求曲線是線性的，即qd=a+bp，其中b<0. 供給曲線是線性的，即qs=c+dp，其中d>0. 市場價格時刻受供給量和需求量的影響，當需求量大于供給量時，則價格上升；當供給量大于需求量時，則價格下降．文獻[18]也討論了相同的價格問題．在文獻[2]中有：

(2)

結合供給曲線和需求曲線，式(2)變成

(3)

進而得到新的動態價格下的捕獲模型：

(4)

這里Logistic規律刻畫生物種群增長. 其中，系數r代表種群內生增長率，k代表環境的最大承載量(或飽和水平)，即代表著棲息地可以容納的最大種群數量.

3 均衡點及其穩定性分析

定理1假設a>c,b<0，d>0，那么模型(4)有且僅有一個正均衡點.

證明由

可解得：

E*=(s*,E*,p*).

其中，

證畢.

定理2定理1的條件成立，那么均衡點E*(s*,E*,p*)是局部漸近穩定的.

證明

模型(4)的雅克比矩陣為

在均衡點E*(s*,E*,p*)處相應的特征方程為：

a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中，

這里

其中，a0=1>0，因為b<0,d>0故而-β(b-d)>0，又加上r,k,s*均大于0，因此a1>0. 因為v,w,r均大于0且s*0.

Δ2=

證畢.

4 全局動力學分析

繪制均衡捕獲努力量的傾斜面、均衡種群數量的曲平面、均衡價格的水平面，見圖1．

根據圖1分別從三個均衡面進行分析：

分析后得出在八個卦限中，生物種群數量、捕獲努力量和價格水平的增減性見表1．

圖1 (a)、(b)分別表示捕獲努力量、種群數量及價格均衡空間視圖及其旋轉圖

sEpsEp一 ↑↑ ↓ 二 ↓ ↑ ↓三 ↓ ↓ ↓ 四↑ ↓ ↓五 ↑ ↑ ↑ 六 ↓ ↑ ↑七 ↓ ↓ ↑ 八 ↑ ↓ ↑

為了體現模型(4)在經濟意義下的優勢，現將新型動態價格下的模型(4)和開放式漁場常數價格下的模型(1)進行比較，選取模型(4)均衡價格處的截面圖與模型(1)常數價格下的二維圖，并將這兩個圖畫在同一坐標系下，見圖2. 從圖2中可以看出，在有相同的種群數量和捕獲努力量的前提下，均衡價格下和常數價格下，經過一系列的循環，都能達到各自的均衡點處，但均衡點是不一樣的．在捕獲生物種群相同數量S3時，均衡價格下的捕獲努力量要低于常數價格下的捕獲努力量，這對于如何控制捕撈行業的捕撈成本是有一定參考價值的.

5 數值模擬與生物經濟學解釋

接下來考慮具體系統

來說明捕獲努力量、種群數量、價格三者變化情況.

圖2 表示均衡價格、常數價格下生物經濟圖，其中常數價格來源于模型(1)

這里r=3,k=5,α=0.5,v=1,w=3,β=1,a=4,c=1,b=-1/2,d=1/2，故v>0,β>0,a>c,b<0,d>0滿足條件. 按照介紹的計算法可以計算出正均衡點E*(2,3.6,3)并且可以得出是局部漸近穩定的(這里以初值s0=2,E0=4,p0=4，在第二卦限為例做具體詳細說明). 用Matlab仿真結果證明最后趨近于正均衡點，見圖3．

圖3 (a)、(b)表示系統初值在第二卦限不帶均衡面、帶均衡面的仿真模擬結果

生物經濟學解釋：

初值分別在八個卦限的Matlab仿真對比結果見圖4．

從圖4中可以看出，初值在八個卦限時最終都趨近于了正均衡點E*(2,3.6,3). 說明捕獲努力量、種群數量、價格三者無論初值在哪個象限，是否存在利潤的情況下最終都將趨于均衡點.

圖4 (a)～(h)分別表示系統初值在第一、二、三、四、五、六、七、八卦限仿真模擬結果

6 結 論

本文從價格理論角度出發，考慮市場價格受供給和需求的影響，建立了一種新的動態價格下的捕獲模型，進而理論證明了系統僅有一個正均衡點且是漸進穩定的，并從數值模擬和生物經濟學兩個角度出發，驗證了無論初值在哪個卦限最終都趨向于均衡點，來進一步說明均衡點的穩定性. 更重要的是發現如果捕獲相同數量的生物種群，那么在均衡價格下的捕撈努力量要低于常數價格下的捕撈努力量，這將為捕獲問題的優化管理提供有價值的理論借鑒.