混合分數布朗運動環境下歐式障礙期權定價*

劉文倩,韋才敏,卜祥智

(1. 汕頭大學 理學院, 廣東 汕頭 515063; 2. 汕頭大學 商學院, 廣東 汕頭 515063)

1 引 言

期權是指持有人在確定時間,按確定價格向出售方購(銷)一定數量和質量的原生資產的協議,但他不承擔必須購入(銷售)的義務.期權作為一種金融衍生產品,其定價取決于原生資產價格的變化.由于原生資產是一種風險資產,價格變化是隨機的，因此期權的價格變化亦必是隨機的.但是一旦原生資產價格確定下來,期權的價格亦將隨之確定[1].1900年, Bachelier 首次利用隨機游動的思想給出了股票價格運行的隨機模型,并提到了期權定價,被公認是現代金融學的里程碑.1964年,Samuelson 對 Bachelier 的模型進行了修正，以股票的回報代替原模型中的股票價格,形成幾何布朗運動模型[1].1973年Black和Scholesv[2]建立了看漲期權定價公式,其成果獲得了諾貝爾經濟學獎.

20世紀80年代初期起,資本市場的大量實證研究表明,金融資產(如股票)的對數收益率具有“尖峰厚尾”的特征,且價格變化也并非隨機游走,而是呈現長期相關性和自相似性.分數布朗運動( Fractional Brownian Motion)具有加法不變性、自相似性、厚尾性以及長期相關性,因此成為刻畫金融資產價格過程的重要工具[3].1989年Peters[4]用分數布朗運動來刻畫將資產價格的變化規律. Duncan等[5]建立了一個關于分數布朗運動的基于Wick乘積的隨機積分,稱為分形It積分,在該積分下,Necula[6]給出了任意時刻分數布朗運動環境下的歐式期權定價公式.Elliott和Hoek[7]研究了Hurst指數在情況下的分數布朗運動,通過Wick積分的方法得到了Girsanov定理和分數It公式.Hu和?ksendal[8]通過Wick積分和分數白噪聲分析進一步發展了分數布朗運動積分理論,并證明了It型分數Black-Scholes市場無套利且完備的.Bender[9]將其推廣到任意Hurset指數.隨后分數布朗運動下歐式期權定價模型[10]、歐式冪期權定價模型[11]和歐式障礙期權定價模型[12]分別被研究.

然而,Bj?rk和Hult[13]研究表明基于Wick積分的分數布朗運動在金融中的應用會受到限制,而定義一個合適的關于分數布朗運動的隨機積分也是比較困難的.且分數布朗運動不是一個半鞅(鞅,Martingale).為避免這些問題,并考慮金融資產價格過程的長記憶特性,可以使用混合分數布朗運動(Mixed Fractional Brownian Motion)來刻畫金融資產的波動[14]．Cheridito[15]首次在經濟學中使用混合分數布朗運動.最近,Sun[16]研究了混合分數布朗環境中歐式匯率期權的定價問題.另外有學者分別研究了混合分數布朗運動下的歐式期權定價[17]和亞式期權定價[18].但是運用混合分數布朗運動模型研究期權定價問題的文獻還較少,特別是在國內還未有關于混合分數布朗運動環境下障礙期權定價的研究．

2 預備知識

定義1障礙期權是這樣一張歐式期權合約,它的最終收益除了依賴于原生資產在期權到期日的價格,還與原生資產價格在整個期權有效期內是否達到某一規定水平(障礙)有關.當原生資產價格達到障礙時期權終止有效,這類期權稱為敲出期權.若原生資產初始價格高于障礙,稱為下降敲出期權;若原生資產初始價格低于障礙,則稱為上升敲出期權.當原生資產價格達到障礙時期權開始有效,這類期權稱為敲入期權.類似地,有下降敲入期權和上升敲入期權．[1]

混合分數布朗運動滿足如下性質:

|S|2H-|t-S|2H);

3 混合分數布朗運動下障礙期權定價公式

考慮金融市場上存在兩種可自由、連續交易的資產, 無風險資產Mt(現金市場) 和風險資產St(股票). 標的資產需要支付紅利, 到期日為時間T, 敲定價格為K, 障礙為B, 并作以下假設:

(ⅰ) 假設標的資產 (股票) 價格St滿足混合分數布朗運動:

(ⅱ) 無風險資產(現金市場)價格Mt滿足:

dMt=rtMtdt．

其中，r是常數，表示無風險利率;

(ⅲ) 原生資產連續支付股息 (紅利), 紅利率q;

(ⅳ) 市場不存在套利機會;

(ⅴ) 交易是連續的, 且允許買空賣空;

(ⅵ) 不支付交易費和稅收.

引理1(混合分數 It公式)設Vt=V(St,t),V是一個關于St和t的二元可微函數. 若隨機過程St適合隨機微分方程：

(1)

則

(2)

證明由 Taylor 展式：

(3)

(4)

把式 (4) 代入到式 (3), 得

證畢.

令V=V(St,t) 表示歐式障礙期權在時刻t的價格. 形成投資組合 Π=V-ΔS(Δ是原生資產的份額), 應用混合分數 It公式, 在 [t,t+dt] 時間段內, 由假設(4), Π是無風險的，利用Δ-對沖有

dΠt=dVt-ΔtdSt-qΔtStdt=

qΔtStdt=r(Vt-ΔtSt)dt.

(5)

(6)

在定解區域內, 所有歐式障礙期權價格均滿足該偏微分方程.

定理1若金融市場滿足上述假設, 歐式下降敲出看漲期權(European down-and-out call option)敲定價格為K,障礙為B,在t∈[0,T]時刻的價格Cd.o為:

Cd.o(S,t)=Se-q(T-t)N(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)-

Ke-r(T-t)N(d4)]=Cvanilla(S,t)-

(7)

其中

d1=

d3=

這里Cvanilla(S,t) 是歐式標準期權 ( vanilla options )在t∈[0,T] 時刻的價格.

證明由式(6)知,歐式下降敲出看漲障礙期權的數學模型為:在區域D={B

經如下變換：

(ⅱ)令ω=ueβ(t),η=x+α(t),τ=ρ(t),

則

令

即有

則方程轉化為熱傳導方程, 在{η∈R+,0≤t≤T}上適合定解問題:

上述 Cauchy 問題可表示為 Possion 公式:

則

代入 Poisson 公式有

由變換(ⅰ)和(ⅱ)回到原變量 (S,t) 以及函數Cd.o(S,t) ,立得定理結論.

證畢.

推論1若金融市場滿足上述假設,歐式下降敲入看漲期權(European down-and-in call option)的定價公式

證明由于歐式期權是一個線性問題, 因此, 歐式障礙期權定價與標準歐式期權定價之間存在

Vvanilla(S,t)=Vd.o(S,t)+Vd.i(S,t)=Vu.o(S,t)+Vu.i(S,t).

(8)

由式 (7) 和 式(8) 可推得結論.

證畢.

同理可以推得歐式上升敲出看漲期權和歐式上升敲入看漲期權的定價公式.

為了得到歐式看跌障礙期權定價的表達式, 建立如下關于看漲-看跌障礙期權的平價公式.

定理2若金融市場滿足上述假設,下降敲出期權存在看漲-看跌平價公式:

其中

證明令W是下降敲出看漲期權與看跌期權之差：

W=Cd.o(S,t)-Pd.o(S,t).

易知W(S,t) 在區域D={B

類似定理 1 的證明, 可得定理結論.

證畢.

4 結 論

本文采用混合分數布朗運動刻畫股票價格的變化過程,以歐式下降敲出看漲期權為例,通過求解偏微分方程得到其定價公式的顯示解.根據敲入與敲出障礙期權的關系以及看漲-看跌平價關系可依次推出歐式障礙期權所有類型的定價公式,改進了前人的分數布朗運動期權定價模型．但是,本文中的模型依然在Black-Scholes理論框架下,且為簡化模型所作的假設與現實情況有一定出入,所以模型有待進一步改進和修正,如何使模型更貼近現實金融市場有待更多的深入研究.