概率中常見離散型隨機變量的數字特征

劉權

摘要：本文主要圍繞著離散型隨機變量展開，第一部分主要講述了幾種取值有限的離散型隨機變量和幾種取值無限的離散型隨機變量；第二部分主要利用隨機變量常見數字特征的定義推導出了幾種離散型隨機變量的數字特征。

關鍵詞：離散型；有限值隨機變量；無限值隨機變量；數字特征

一、常見離散型隨機變量及其分類

（一）取值有限的離散型隨機變量

1.伯努利分布

假設在一次伯努利試驗中，事件A發生的概率為p，不發生的概率為q=1-p，定義隨機變量X1為，

我們稱X1服從伯努利分布，記為X1～B（1， p）.

伯努利的概率分布為，

2.二項分布

二項分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗中，我們定義隨機變量X2為事件A發生的次數，則稱隨機變量X2服從二項分布，記作X2～B（n， p）.

隨機變量X2的概率分布為，

3.超幾何分布

假定在N件產品中有M件次品，其余產品為正品，在N件產品中隨機抽取n件產品，記X3為次品件數，則稱隨機變量X3服從超幾何分布，記作X3～H（N，n，M ）.

超幾何分布的概率分布：

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（二）取值無限的離散型隨機變量

1.幾何分布

幾何分布是典型的取值無限的離散型隨機變量，無限次的伯努利試驗中，首次試驗成功出現在第X4次，則稱隨機變量X4服從幾何分布，記作X4～G（ p）.

幾何分布的概率分布為，

其中，k∈N *.

2.帕斯卡分布

帕斯卡分布是幾何分布的推廣，無限次的伯努利試驗中，首次出現第r次成功所需進行的試驗次數記為X5，則稱隨機變量X5服從帕斯卡分布，記作X5～Pa（ p，r）.

帕斯卡分布的概率分布為，

其中，k=r， r+1， ….

3.泊松分布

假設隨機變量X6的可能取值為所有非負整數值，并且X6的概率分布為，

其中，λ>0，為常數，則稱隨機變量X6服從泊松分布，記作，X6～P（λ）.

由ex的麥克勞林級數展開式，

容易驗證，

二、幾種離散型隨機變量的數字變量特征

隨機變量常見的數字特征主要包括：數學期望、方差、協方差、相關系數和矩等。下文就本文第一部分的部分隨機變量給出他們常見的數字特征。

（一）二項分布的數字特征

二項分布的數學期望推導如下，

關于一般隨機變量的方差求法，

二項分布的方差推導如下，

（二）泊松分布的數字特征

泊松分布的數學期望推導如下，

泊松分布的方差推導如下，

可以看出泊松分布的一個重要性質是其數學期望和方差是相等的，都是λ.

（三）幾何分布的數字特征

三、小節

隨機變量作為概率論的最核心的內容，探討它的數字特征顯得非常重要。隨機變量主要可以分為離散型隨機變量和連續型隨機變量，本文主要探討的幾種隨機變量都是離散型的隨機變量，這些離散型的隨機變量也是非常重要的隨機變量。

參考文獻：

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