直線參數(shù)方程常見的三種錯解

洪亮

摘要：參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的另一種表示形式。高考的選做題中必有一道參數(shù)方程和極坐標方程題，而這應該是學生得分的題目，但從教學中發(fā)現(xiàn)學生經(jīng)常出錯。以下是本人歸納的參數(shù)方程的錯解，希望對學生有所幫助。

關(guān)鍵詞：直線參數(shù)方程；參數(shù)的幾何意義；標準形狀

參數(shù)方程作為高考選做題中的一題，學生應該是很容易得分的，但是學生往往對此題錯誤較多，得不到滿分，甚至得不到分，尤其是直線的參數(shù)方程，以下是直線的參數(shù)方程常見的錯解。

經(jīng)過點M0（x0， y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）

一、直線參數(shù)方程未化成標準形狀

例1：在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線C2方程為，以O為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系。（1）求曲線C1和直線C2的極坐標方程；（2）若直線C2與曲線C1交于M、N兩點，求的值。

（2）錯解：由直線C2方程為得，直線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線C2的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程 得3t 2-12t+8=0。

設M， N分別對應的參數(shù)為t1， t2則

所以

解析：此題求C2的參數(shù)方程是錯誤的，因為C2普通方程中的x的系數(shù)是直線傾斜角α的正切，既不是直線傾斜角α 正弦也不是余弦。而部分學生認為只要把直線的普通方程隨便化成參數(shù)方程，不管它是不是直線參數(shù)方程的標準形狀都可以代入，這就導致了錯誤的產(chǎn)生。

正解：直線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且。將直線C2的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程 得

設M， N分別對應的參數(shù)為t1， t2則t1·t2=2

所以

二、直線參數(shù)方程中的t的幾何意義不清楚

直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是直線上的動點M到定點M0的距離等于參數(shù)t的絕對值。

例2：已知直線l：x+y-1=0與拋物線y= x2交于A， B兩點，求線段AB的長和點M（-1，2）到A， B兩點的距離之和。

解：因為直線l過定點M，且直線l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)），把它代入拋物線的方程，得

設A， B分別對應的參數(shù)為t1， t2

則

錯解：，

解析：本題學生出錯的原因在于，未搞清參數(shù)t的幾何意義，誤認為，。

實際上從可以得出t1， t2是異號的，故

。

三、誤把曲線的參數(shù)方程代入到直線的普通方程

例3：已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的非負半軸重合，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ+ ρsinθ=1，曲線C2：（t為參數(shù)）。設F（0，1），曲線C1、C2相交于不同的兩點A， B，求

解：曲線C1的直角坐標方程為x+y-1=0

錯解：把曲線C2：（t為參數(shù)）代入到曲線C1的直角坐標方程x+y-1=0得t 2+2t-1=0

設A， B分別對應的參數(shù)為t1， t2則

因為F（1，0）在曲線C1上，所以

解析：此題錯在把曲線C2的參數(shù)方程代入到直線C1的直角坐標方程，所得的關(guān)于t的方程中的t并不是直線參數(shù)方程定義中的t。

正解：直線C1的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）代入到曲線C2的普通方程y2=4x得

設A， B分別對應的參數(shù)為t1， t2，

所以。

以上是本人在教學中發(fā)現(xiàn)的學生常見的直線參數(shù)方程的錯解，當然還有不到之處。實際上只要學生在做題時牢牢把握直線參數(shù)方程的定義就不會出問題的。