圓錐曲線中遇到與斜率和或積有關的問題研究

梁英凡

摘要：主要研究圓錐曲線中因直線運動而產生和斜率有關的定點問題，涉及到斜率和或積有關的問題，通過對該問題的研究，能對此類題有明確的解題方法。

關鍵詞：圓錐曲線；斜率；定點；一元二次方程

·直線l交橢圓C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB兩點.A（x1，y1）B（x2，y2）.橢圓C上任意一點P（x0，y0），連接PA.PB，若kpa+kpb=k（k≠0）則直線l過定點.那么這個定點（x，y）該怎么求呢？

設直線l的方程為α（x-x0）+β（y-y0）=1 ①

橢圓C：（x-x0+x0）2/a2+（y-y0+y0）2/b2=1

點P（x0，y0）滿足x02/a2+y02/b2=1

將其代人C的方程，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）/a2+（y-y0）2+2y0（y-y0）/b2=0

將直線方程中1代換再帶入，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）[α（x-x0）+β（y-y0）]/a2+[（y-y0）2+2y0（y-y0）][α（x-x0）+β（y-y0）]/b2=0

將上式整理成關于（y-y0）的一元二次方程，有

（1+2yoβ/b2）（y-y0）2+[2x0β/a2+2yoα/b2]（x-x0）（y-y0）+（1+2xoα/a2）（x-x0）2=0（*）

欲得到有關斜率的表達式，將上式同時除以（x-x0）2

再將.A（x1，y1）B（x2，y2）帶入，由kpa+kpb=k，得出結論即可

經過一番復雜的運算，我們發現了一個實際操作起來比較簡潔的思路。有關于此，我們可應用到一些題目當中.

例題：（2017·全國I·21（2）橢圓C：x2/4+y2=1.直線l不經過點P2（0，1）且與橢圓C相交于A.B兩點.若直線P2A于直線P2B斜率和為-1，證明：l過定點

我們用上述思路做一下：設A（x1，y1）B（x2，y2）.

直線l的方程αx+β（y-1）=1

橢圓C：x2/42+（y-1+1）2=1

展開再將1代換，有

x2/4+（y-1）2+2（y-1）[αx+β（y-1）]=0

將上式整理成關于（y-1）的一元二次方程，有

（1+2β）（y-1）2+2αx（y-1）+ x2/4=0

齊次化，上式除以x2，得

（1+2β）（y-1/x）2+2αx（y-1/x）+M=0

（其中M=1/4）[斜率和沒必要算出來]

kP2A、kP2B為上述方程的兩根

由韋達定理及已知條件，知

kP2A+kP2B=-2α/1+2β=-1

即 α=（1+2β）/2

帶入直線l的方程，有

（1+2β）x/2+β（y-1）=1

整理成關于β的方程，得

（x+y-1）β+x/2=1

令x=2，x+y-1=0

得x=2，y=﹣1

故直線過定點（2，﹣1）

我們還可以將上述拓寬一下，將斜率和改為斜率積，如下

·直線l交橢圓C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB兩點.A（x1，y1）B（x2，y2）.橢圓C上任意一點P（x0，y0），連接PA.PB，若kpa·kpb=k（k≠0）則直線l過定點.那么此時定點（x，y）該怎么求呢？

其實思路與求斜率和的本質相同.（*）式在此同樣適用，只不過將后面代為

kpa·kpb=k

再應用韋達定理，聯立求出即可，在此不再證明

經過上述一番探討，我們對橢圓中斜率的加和或乘積題有了更新的方法、更深的了解，做題時我們可先在心中有一個“預判”，明確了大致方向，認真書寫，仔細計算，此類題應該不成是大礙。