探尋兒童符號(hào)意識(shí)的養(yǎng)成策略

/周丹菊

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往是從具體到表象再到抽象的符號(hào)化過(guò)程。因此，符號(hào)語(yǔ)言成了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語(yǔ)言，它具有間接性、抽象性和通用性等特點(diǎn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中強(qiáng)調(diào)，“引進(jìn)好的符號(hào)”是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素之一。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生時(shí)時(shí)刻刻都在與符號(hào)打交道，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象、理解與運(yùn)用構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)能力也應(yīng)成為重要的教學(xué)目標(biāo)。如何喚醒學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)思維，建構(gòu)符號(hào)模型體系是廣大教育工作者需要探索的一個(gè)重要課題。

一、數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的意蘊(yùn)

（一）數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵詮釋

東北師范大學(xué)史寧中教授指出：所謂符號(hào)就是針對(duì)具體事物對(duì)象而抽象概括出來(lái)的一種簡(jiǎn)略的記號(hào)或代號(hào)。數(shù)學(xué)的符號(hào)由數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成。符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所做出的一種主動(dòng)性反應(yīng)。[1]筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)下，運(yùn)用對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感知、理解、運(yùn)算與推理來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種核心素養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的特征

1.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成具有階段性。

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成具有階段性特征，應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的演化機(jī)制，確保學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷與反思符號(hào)表征、體驗(yàn)與感悟數(shù)學(xué)理解與思想方法。符號(hào)意識(shí)應(yīng)表現(xiàn)出“生”和“成”兩個(gè)階段。“生”的階段是學(xué)習(xí)者在探究活動(dòng)中對(duì)符號(hào)意識(shí)的科學(xué)認(rèn)識(shí)、感悟與反思階段；“成”的階段是學(xué)習(xí)者用符號(hào)化的思維思考問(wèn)題，用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表征分析問(wèn)題，用適切的符號(hào)表達(dá)、解釋問(wèn)題的階段。

2.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成具有層次性。

符號(hào)意識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生主要通過(guò)對(duì)客觀事物的抽象而形成符號(hào)表征，再借助符號(hào)表征形成符號(hào)化思維，進(jìn)而從符號(hào)化的角度思考問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)思想方法。“符號(hào)表征—數(shù)學(xué)思維—符號(hào)思考—思想方法”的轉(zhuǎn)化，必將超越原有的符號(hào)認(rèn)知水平，正是因?yàn)檫@種層次性的特征，才使得培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)成為可能。

3.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成具有主體性。

兒童心理學(xué)家皮亞杰指出，整個(gè)認(rèn)識(shí)關(guān)系的建立，既不是外物的簡(jiǎn)單摹本，也不是主體內(nèi)部預(yù)先存在的獨(dú)立顯現(xiàn)，而是包括主體與外部世界在連續(xù)不斷的相互作用中逐漸建立起來(lái)的一個(gè)結(jié)構(gòu)集合。數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的生成是學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)、感悟與反思的積極心理傾向。因此，在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)帶有符號(hào)的傾向性與符號(hào)化的思維模式。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成包含著人的主體能動(dòng)性。

4.數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成具有實(shí)踐性。

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成是學(xué)習(xí)者將客觀事物抽象出符號(hào)特征，達(dá)到思維提升的過(guò)程。只有經(jīng)歷實(shí)踐過(guò)程，才能檢驗(yàn)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的生成程度，驗(yàn)證思維成果的對(duì)與錯(cuò)。所以，在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的生成過(guò)程中，思維與實(shí)踐是相輔相成的，學(xué)習(xí)者只有積極參與各種實(shí)踐探究，才不會(huì)使符號(hào)意識(shí)的實(shí)踐操作成為“紙上談兵”。

（三）數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)價(jià)值

1.符號(hào)意識(shí)有助于兒童數(shù)學(xué)思想的表達(dá)。

符號(hào)作為數(shù)學(xué)的獨(dú)特語(yǔ)言具有抽象性、簡(jiǎn)約性。通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)把生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，運(yùn)用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言有利于幫助學(xué)生完整、精確地描述數(shù)學(xué)信息，表達(dá)數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力。

2.符號(hào)意識(shí)有助于兒童邏輯思維的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，符號(hào)的形成是學(xué)生在經(jīng)歷“感知具體事物—個(gè)性化的表達(dá)—數(shù)學(xué)地表示”這樣一個(gè)符號(hào)化、形式化的過(guò)程。而學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，便是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)歷“日常語(yǔ)言—符號(hào)意識(shí)—符號(hào)思考”的過(guò)程，這一過(guò)程讓學(xué)生的邏輯思維得到有效的培養(yǎng)。

3.符號(hào)意識(shí)有助于兒童創(chuàng)造能力的提升。

符號(hào)是對(duì)客觀事物抽象的結(jié)果，學(xué)生對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)是基于對(duì)事物的本質(zhì)理解而創(chuàng)造出來(lái)的。學(xué)生在創(chuàng)造各種符號(hào)的過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)的理解更加深刻，學(xué)生的創(chuàng)造力也能得到提升。

二、數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的策略探尋

符號(hào)意識(shí)實(shí)際就是學(xué)生積極主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)的意識(shí)，因此，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該經(jīng)歷記憶模仿—推演抽象—理解應(yīng)用的“生”與“成”過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠積累運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟符號(hào)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，從而促進(jìn)符號(hào)意識(shí)的提升。

（一）以情境為載體，喚醒符號(hào)意識(shí)

1.現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景抽象化，從實(shí)物到圖形，萌發(fā)符號(hào)意識(shí)。

由于身心發(fā)展水平及認(rèn)知能力有限，低年級(jí)的學(xué)生還不容易接受比較抽象的知識(shí)。因此，在促進(jìn)兒童符號(hào)意識(shí)形成的最初階段，應(yīng)該盡可能地讓他們從現(xiàn)實(shí)的場(chǎng)景中，經(jīng)歷由淺入深、循序漸進(jìn)的過(guò)程，讓學(xué)生在腦海中建立客觀事物與符號(hào)抽象之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)符號(hào)有效內(nèi)化。

例如：教學(xué)蘇教版一上《數(shù)數(shù)》時(shí)，教師可以先出示游樂(lè)園的場(chǎng)景圖（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生數(shù)一數(shù)圖中的物體，再提醒學(xué)生關(guān)注實(shí)物圖下面的圓點(diǎn)，思考其表示的數(shù)學(xué)意思，最后鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫出數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)數(shù)量。

（圖1）

由圖形到符號(hào)，學(xué)生逐漸體會(huì)到圖形符號(hào)與物體的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)、運(yùn)用符號(hào)表達(dá)思想奠定了基礎(chǔ)。

2.表達(dá)方式個(gè)性化，從繁雜到簡(jiǎn)約，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的意趣。

學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)接觸到很多符號(hào)，教師應(yīng)善于啟發(fā)，喚醒學(xué)生記憶中的符號(hào)表象。例如：教學(xué)蘇教版一上《認(rèn)識(shí)圖形》后，教師可以設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的習(xí)題：一張全家福的照片中有5個(gè)大人排成一排，每相鄰2個(gè)大人中間有1個(gè)小朋友，照片中一共有幾個(gè)人？

師：你會(huì)怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生1：我們可以上去排排隊(duì)嗎？

師：當(dāng)然可以。男生代表大人，女生代表小朋友，看看到底一共多少人。（得出9人）

生2：還可以畫圖解決（如圖2）。

（圖2）

師評(píng)價(jià)：畫得不錯(cuò)，能不能表示得簡(jiǎn)單點(diǎn)兒呢？

生3：可以畫大圓圈和小圓圈來(lái)分別表示大人和小朋友（如圖3）。

（圖3）

生4：我想畫正方形和豎線（如圖4）。

（圖4）

從真實(shí)的數(shù)學(xué)情境到個(gè)性化的圖片，再到圓點(diǎn)、豎線等簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)，學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解愈加深刻，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)逐步生成。

（二）經(jīng)歷抽象過(guò)程，培養(yǎng)符號(hào)思維

1.借助數(shù)學(xué)文化史，從一般到特殊，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的魅力。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有簡(jiǎn)潔美，同樣具有獨(dú)特美。對(duì)于某些專屬符號(hào)表征，可以在學(xué)生經(jīng)歷探究、抽象的過(guò)程中引入數(shù)學(xué)文化來(lái)介紹符號(hào)的由來(lái)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史的悠久，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的趣味。

例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的周長(zhǎng)》時(shí)，可以先讓學(xué)生經(jīng)歷探索和討論，知道“任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)都是它直徑的三倍多一些，這是一個(gè)固定不變的數(shù)，這個(gè)數(shù)叫作圓周率”，繼而借助數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家關(guān)于π的研究過(guò)程，介紹數(shù)學(xué)家的小故事幫助學(xué)生理解π的由來(lái)及其獨(dú)特性，并結(jié)合符號(hào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系感悟它的無(wú)限不循環(huán)性，在此過(guò)程中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，是一個(gè)常數(shù)，是一個(gè)能表示固定常數(shù)的字母。

2.創(chuàng)新探究表達(dá)方式，從感性到理性，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)思維。

在解決問(wèn)題中，學(xué)生可以自主選擇合理的、方便的符號(hào)表達(dá)方式，但在探究過(guò)程中，學(xué)生不僅要關(guān)注解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身，更應(yīng)注意符號(hào)表達(dá)是否合理，思維結(jié)構(gòu)是否完善。因此，只有以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，借助符號(hào)理解深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的視野才能得到拓展，知識(shí)結(jié)構(gòu)才能網(wǎng)絡(luò)化，符號(hào)思維才能有深度與廣度。

例如：教學(xué)蘇教版五上《用字母表示數(shù)》時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)唱“數(shù)青蛙歌”的活動(dòng)：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……當(dāng)學(xué)生唱不下去時(shí)，教師適時(shí)指導(dǎo)。

師：每只青蛙1張嘴、2只眼睛、4條腿。每只青蛙眼睛、腿的個(gè)數(shù)分別是嘴的2倍、4倍，青蛙的個(gè)數(shù)就是嘴的個(gè)數(shù)。用什么方法可以表示出任意只青蛙，且將青蛙的只數(shù)與它的嘴、眼睛、腿的數(shù)量關(guān)系表達(dá)清楚呢？

生1：我們可以用字母表示。n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條腿。

生2：不對(duì)，如果是n只青蛙，那么青蛙就有n張嘴，2n只眼睛，4n條腿。

《字母表示數(shù)》這一課對(duì)發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)起著關(guān)鍵性作用，它促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力和代數(shù)思想的一次提升，讓學(xué)生真正地理解了符號(hào)所表達(dá)的意義，讓學(xué)生思維結(jié)構(gòu)更加完整和縝密。

（三）活用數(shù)學(xué)符號(hào)，建構(gòu)符號(hào)體系

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)既要“弄懂”，更要“會(huì)用”。理解數(shù)學(xué)符號(hào)，關(guān)鍵是對(duì)其內(nèi)涵及外延的正確把握，而學(xué)生往往受數(shù)學(xué)符號(hào)形式的困擾難以甄別。因此，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要注重符號(hào)的理解，使運(yùn)算意識(shí)達(dá)到符號(hào)化思考的自覺(jué)程度。

1.強(qiáng)化體驗(yàn)重感悟，從隱性到顯性，促使符號(hào)意識(shí)模型化。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有顯性和隱性的特征，間接接受的多為顯性知識(shí)，它是數(shù)學(xué)理解的源泉，而學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷感悟的過(guò)程中獲得的數(shù)學(xué)理解、建立的數(shù)學(xué)模型等隱性知識(shí)才是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵。例如：教學(xué)蘇教版五下《認(rèn)識(shí)方程》時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)“天平稱物”的活動(dòng)引入教學(xué)。

師：觀察天平，你有什么發(fā)現(xiàn)與思考？（出示天平圖：左邊一個(gè)櫻桃和5克砝碼，右邊10克砝碼。）

生1：天平指針在中間，說(shuō)明兩邊質(zhì)量相等。

生2：一個(gè)櫻桃加5克砝碼的質(zhì)量等于10克砝碼的質(zhì)量。

師：能用一個(gè)式子表示出來(lái)嗎？

生3：一個(gè)櫻桃+5=10

師：如果不知道有多少個(gè)櫻桃，可以用什么符號(hào)來(lái)表示呢？

生：用x來(lái)表示：x+5=10。

師：如果一個(gè)裝有2000毫升水的水壺，剛好倒?jié)M2個(gè)熱水瓶和一個(gè)200毫升的杯子，它們的關(guān)系又可以怎樣表示呢？

…………

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)需要讓學(xué)生在知識(shí)形成的過(guò)程中去感受符號(hào)。學(xué)生通過(guò)天平稱物、水壺倒水等情境理解了字母x在不同數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)意義，完成了從數(shù)量關(guān)系到符號(hào)表達(dá)的抽象過(guò)程，學(xué)習(xí)者通過(guò)舉一反三，建立起數(shù)學(xué)符號(hào)表征之間的交錯(cuò)聯(lián)系，體會(huì)到方程是刻畫等量關(guān)系的重要模型。

2.深化知識(shí)的理解，從會(huì)用到活用，挖掘并滲透數(shù)學(xué)思想。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的最終目的是為了更好地解決生活實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用學(xué)生已有的符號(hào)意識(shí)激發(fā)其符號(hào)化地思考，有利于幫助學(xué)生在推理表達(dá)的過(guò)程中運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)而揭示問(wèn)題的一般性和普遍性規(guī)律。

例如：教學(xué)蘇教版五上《用列舉的策略解決實(shí)際問(wèn)題》時(shí)，筆者曾創(chuàng)設(shè)過(guò)這樣一個(gè)生活實(shí)際問(wèn)題。出示午餐菜譜：魚、肉圓、白菜、豆腐、土豆。

師：老師的午餐如果是一個(gè)葷菜和一個(gè)素菜搭配，一共有幾種不同的搭配方法呢？

生1：我先選葷菜，再選素菜，這樣搭配：魚配白菜、魚配豆腐、魚配土豆、肉圓配白菜、肉圓配豆腐、肉圓配土豆，一共有6種方法。

生2：我先選素菜，再選葷菜，也有6種不同的搭配。

生3：我也是先選葷菜的，不過(guò)我用A、B代表葷菜，a、b、c 代表素菜，用搭配圖看得更清楚（如圖5）。

（圖5）

師：你們覺(jué)得他們的方法怎么樣？

生4：我覺(jué)得用圖表示能夠清楚地看出搭配的結(jié)果，而且用字母表示菜名比寫字要快得多。

在解決配菜問(wèn)題的過(guò)程中，不僅滲透了有序搭配的思想方法，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)化的思考。學(xué)生經(jīng)歷了從語(yǔ)言表述到圖形表示，再到符號(hào)化表達(dá)的過(guò)程。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)搭配其實(shí)是有規(guī)律可循的，只要做到有序就不會(huì)重復(fù)、遺漏。學(xué)生在經(jīng)歷了從無(wú)意識(shí)地簡(jiǎn)化搭配路線圖到有意識(shí)地發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)思想的過(guò)程，這是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)符號(hào)模型的過(guò)程，它豐富了學(xué)生的符號(hào)模型體系，推進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)符號(hào)化進(jìn)程的發(fā)展。

兒童具有發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的無(wú)盡潛力，當(dāng)兒童真正對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣、牢固的信念時(shí)，就會(huì)爆發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)助力兒童積極主動(dòng)地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界與符號(hào)表征之間的聯(lián)系，并通過(guò)符號(hào)理解、符號(hào)運(yùn)算、符號(hào)思考解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中孕育成長(zhǎng)，核心素養(yǎng)的積淀才更具有綜合性、整體性和持久性。