全國名校不等式測試題（A卷）

■甘肅省白銀市第一中學 胡貴平

編者的話：強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納,是學好數學的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設此欄目,希望同學們能認真練習。

一、選擇題

1.若a＞b＞0,c＜d＜0,則一定有( )。

2.設0＜a＜b,則下列不等式中正確的是( )。

A.-7 B.-6 C.-5 D.-3

5.下列結論中錯誤的是( )。

B.｛x |x≤1｝

7.圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2a x-b y+2=0(a,b∈R)對稱,則a b的取值范圍是( )。

8.若關于x的不等式x2-a x-6a2＞0(a＜0)的解集為(-∞,x1)∪(x2,+∞),且x2-x1=5,則a=( )。

A.6 B.19 C.21 D.45

A.{x|x＜-2或x＞3}

B.{x|x＜-2或1＜x＜3}

C.{x|-2＜x＜1或x＞3}

D.{x|-2＜x＜1或1＜x＜3}

A.{a|-1＜a＜1}

B.{a|0＜a＜2}

16.設集合A={(x,y)|x-y≥1,a x+y＞4,x-a y≤2},則( )。

A.對任意實數a,(2,1)∈A

B.對任意實數a,(2,1)?A

C.當且僅當a＜0時,(2,1)?A

A.[-1,2] B.[-1,0]

C.[1,2] D.[0,2]

A.-2 B.-1 C.1 D.2

19.不等式a x2+b x+c＞0的解集為,則不等式c x2+b x+a＜0的解集為( )。

20.某加工廠采購的原料的用途包括：由甲車間加工出A產品,由乙車間加工出B產品。甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時,可加工出7千克A產品,每千克A產品獲利40元。乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時,可加工出4千克B產品,每千克B產品獲利50元。甲、乙兩車間每天至多完成70箱原料的加工,每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時,甲、乙兩車間每天獲利最大的生產計劃為( )。

A.甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱

B.甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱

C.甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱

D.甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱

22.規定符號“☉”表示一種運算,定義：a☉b=a b+a+b(a,b均為正實數)。若1☉k＜3,則k的取值范圍為( )。

A.1＜k＜4 B.0＜k＜1

C.-1＜k＜0 D.0＜k＜2

23.若a,b,c為實數,則下列命題正確的是( )。

A.若a＞b,則a c2＞b c2

B.若a＜b＜0,則a2＞a b＞b2

C.若a＜b＜0,則

D.若a＜b＜0,則

24.在平面直角坐標系中,若不等式組(a為常數)所表示的平面區域的面積等于2,則a的值為( )。

A.-5 B.1 C.2 D.3

25.已知平面區域,向區域 內Ω隨機投一點P,點P落在區域M內的概率為( )。

26.若關于x的不等式x2+a x-2＞0在區間[1,5]上有解,則實數a的取值范圍為( )。

27.一元二次不等式a x2+b x+1＞0的解集為,則a b的值為( )。

A.-6 B.6 C.-5 D.5

28.設m,n∈R,給出下列結論：①m＜其中正確的結論有( )。

A.①④ B.②④

C.②③ D.③④

29.若M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),則M與N的大小關系為( )。

A.M＞NB.M＜N

C.M=ND.不能確定

30.若集合A={x|a x2-a x+1＜0}=?,則實數a的取值范圍是( )。

A.0＜a＜4 B.0≤a＜4

C.0＜a≤4 D.0≤a≤4

31.已知a＞b＞0,則的最小值為( )。

32.若x,y是正數,則的最小值是( )。

33.實數x,y滿足若3x-2y≤m恒成立,則實數m的取值范圍是( )。

34.已知二次函數f(x)=a x2-(a+2)x+1(a∈Z),且函數f(x)在(-2,-1)上恰有一個零點,則不等式f(x)＞1的解集為( )。

A.(-∞,-1)∪(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(1,+∞)

C.(-1,0)

D.(0,1)

35.設實數x,y滿足不等式組若x,y為整數,則3x+4y的最小值是( )。

A.14 B.16 C.17 D.19

36.小王從甲地到乙地的時速為a,從乙地到甲地的時速為b,且a＜b,其全程的平均時速為v,則( )。

37.實數α,β是方程x2-2m x+m+6=0的兩根,則(α-1)2+(β-1)2的最小值為( )。

38.設a＞0,b＞1,若a+b=2,則+的最小值為( )。

39.設x,滿足約束條件且z=x+a y的最小值為7,則a的值為( )。

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

二、填空題

40.已知集合A={x|x2-16＜0},B={x|x2-4x+3＞0},則A∩B=

41.某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元。要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是

42.設實數x,y滿足3≤x y2≤8,≤9,則的最大值是

43.已知直線=1(a＞0,b＞0)過點(1,2),則2a+b的最小值為

44.設x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最小值為

45.若x,y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是,最大值是

46.對于實數a,b,c,有下列命題：①若a＞b,則a c＜b c;②若a c2＞b c2,則a＞b;③若a＜b＜0,則a2＞a b＞b2;④若c＞a＞b＞0,則;⑤若,則a＞0,b＜0。

其中是真命題的是(寫出所有真命題的序號)。

47.若正數a,b滿足a b=a+b+3,則a b的取值范圍是

48.若正數a,b滿足a b≥a+b+3。則a+b的取值范圍是

49.對任意實數x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4＜0恒成立,則實數a的取值范圍是

50.若不等式x2+a x+1≥0對一切x∈(0,1]恒成立,則a的最小值為

51.若x,y滿足不等式則的取值范圍是

52.已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,…,可推廣為x+≥n+1,則a的值為

53.不等式l o g2的解集為

54.設a+b=2,b＞0,則的最小值為

55.若關于x的不等式(2x-1)2＜a x2的解集中整數恰好有3個,則實數a的取值范圍是

56.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則的最小值為

57.已知實數x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是

58.若關于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,則實數a的取值范圍為

59.已知點P的坐標(x,y)滿足：若A(2,0),則的最大值是

三、解答題

60.記函數的定義域為A,g(x)=l g［(x-a-1)(2a-x)］(a＜1)的定義域為B。

(1)求A;

(2)若B?A,求實數a的取值范圍。

61.如圖1所示,某村計劃建造一個室內面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內,沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道,沿前側內墻保留3m寬的空地。求當矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大,最大種植面積是多少。

圖1

62.解關于x的不等式a x2-(a+1)x+1＜0。

63.已知函數f(x)=a x2+a2x+2ba3,當x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時,f(x)＜0;當x∈(-2,6)時,f(x)＞0。

(1)求a,b的值;

(2)設F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),則當k取何值時,函數F(x)的值恒為負數?

64.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產品P、Q,該廠的生產能力是月產P產品最多有2500件,月產Q產品最多有1200件;而且組裝一件P產品要4個A、2個B,組裝一件Q產品要6個A、8個B;該廠在某個月能用的A零件最多14000個,B零件最多12000個。已知P產品每件利潤1000元,Q產品每件2000元,欲使月利潤最大,需要組裝P、Q產品各多少件?最大利潤多少萬元?

65.圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口。已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m。設利用的舊墻長度為x(單位：m),修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)。

(1)將y表示為x的函數;

(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最少,并求出最少總費用。

66.設x,y為正實數

(1)試比較a,c的大小;

(2)若p=1,試證明：以a,b,c為三邊長一定能構成三角形;

(3)若對任意的正實數x,y,不等式a+b＞c恒成立,試求p的取值范圍。

67.函數f(x)=x2+a x+3,當x∈[-2,2]時f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍。

68.如圖2,公園有一塊邊長為2的等邊三角形A B C的邊角地,現修成草坪,圖中D E把草坪分成面積相等的兩部分,點D在A B上,點E在A C上。

圖2

(1)設A D=x(x≥0),E D=y,求y關于x的函數關系式。

(2)如果D E是灌溉水管,為節約成本,希望它最短,則D E的最小值應為多少?如果D E是參觀線路,則希望它最長,則D E的最大值應為多少?

69.設f(x)=3a x2+2b x+c,已知a+b+c=0,且f(0)＞0,f(1)＞0。

求證：(1)方程f(x)=0有實根。

(2)a＞0,且-2＜＜-1。

(3)方程f(x)=0在(0,1)內有兩個實根。