等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的學(xué)習(xí)與應(yīng)用探究

侯嘉南

摘 要：學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，公式固然重要，更重要的是要同學(xué)們掌握用錯(cuò)位相減法和定義法推導(dǎo)公式的方法，并在推導(dǎo)中積極的思考，通過(guò)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)錯(cuò)位相減法以及特殊到一般、類(lèi)比與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)自己觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力，從而形成學(xué)生自己的獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想和解題方法，逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；錯(cuò)位相減法；分類(lèi)討論；類(lèi)比與轉(zhuǎn)化

國(guó)際象棋起源于印度，關(guān)于國(guó)際象棋有這樣一個(gè)傳說(shuō)：國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者西薩，問(wèn)他有什么要求。西薩說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上一顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依此類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍，直到第64個(gè)格子。”國(guó)王不假思索地說(shuō)：“這太簡(jiǎn)單了！”馬上就吩咐手下馬上去辦。過(guò)了好久，手下人驚慌失措地跑過(guò)來(lái)，報(bào)告國(guó)王：“不好了！不好了！”國(guó)王聽(tīng)完報(bào)告之后也傻眼了。你猜這是怎么回事？原來(lái)按照國(guó)際象棋發(fā)明者西薩的要求，經(jīng)過(guò)計(jì)算，即便把印度近幾十年生產(chǎn)的所有麥子加起來(lái)也不夠給這位西薩的。

從給出一顆麥粒開(kāi)始，到第64個(gè)格子就給出了自己的江山嗎？國(guó)王糊涂了，傻了。

這就是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的運(yùn)用，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類(lèi)求和問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和有力工具。那么到底要給西薩多少麥子呢？等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式如何推導(dǎo)呢？

寫(xiě)出麥粒總數(shù)：1+2+22+23+……263

在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式之前，計(jì)算這個(gè)公式可以用一個(gè)笨辦法，那就是用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和。但是這個(gè)辦法僅適用于有限的項(xiàng)數(shù)，太多了就計(jì)算不出來(lái)了。這就需要學(xué)習(xí)公式，需要清楚這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)，明白這是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

很明顯，稍作仔細(xì)觀察我們就能發(fā)現(xiàn)，在1+2+22+23+……263這個(gè)數(shù)列里面，每一項(xiàng)都有明顯的特征，那就是后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍。

探究1：設(shè)1+2+22+23+……263，記為（1）式，

探究2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2，則有2S64=2+22+23+……263+264，記為（2）式。

比較（1）（2）兩式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

數(shù)學(xué)的思維就是這樣神奇，貌似復(fù)雜難解甚至無(wú)解的題目，一旦轉(zhuǎn)換一下思維，整個(gè)情況就會(huì)完全改觀，變得簡(jiǎn)單明了易解。推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，比較（1）（2）兩式，關(guān)鍵是變“加”為“減”，而這簡(jiǎn)單的一個(gè)變“加”為“減”，在教授知識(shí)的教師看來(lái)這是“天經(jīng)地義”的，但在作為被動(dòng)接受知識(shí)的學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議”的，這就是學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)時(shí)需要著力的地方，也正是培養(yǎng)辯證思維能力的良好契機(jī)。經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)：（1）（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：S64=264-1，這就是錯(cuò)位相減法。

縱觀全過(guò)程，錯(cuò)位相減關(guān)鍵是（1）式兩邊都同乘以了2。那么反思一下：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

我們可以將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為a1，公比為q，如何求前n項(xiàng)和Sn？學(xué)生可以嘗試自主探究，從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)和成就感。

探究：由（1-q）Sn=a1-a1qn得Sn=對(duì)不對(duì)？

這里的q能不能等于1？

等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？

此時(shí)Sn=？

得出結(jié)論：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以結(jié)論比較容易推導(dǎo)。結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1，如何把Sn用a1、an、q表示出來(lái)？最后得出公式：

Sn=na1， q=1=， q≠1

學(xué)會(huì)公式推導(dǎo)之后，要再加強(qiáng)練習(xí)。通過(guò)多層次的練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)使學(xué)生養(yǎng)成多元反饋看自己的習(xí)慣。

例1：求等比數(shù)列，，，，…前10項(xiàng)和；

等比數(shù)列，，，，…前多少項(xiàng)的和是；

已知等比數(shù)列，，，，…求第5項(xiàng)到第13項(xiàng)的和；

已知等比數(shù)列，，，，…求前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和。

然后，再?lài)L試自己編一道等比數(shù)列求和的問(wèn)題，這樣做的好處在于使同學(xué)們不會(huì)拘泥于完成幾道題目就可以了，而是能夠把知識(shí)學(xué)活，舉一反三，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)造力及自學(xué)能力。

《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力”高中生正好處于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)期，應(yīng)嘗試多種活動(dòng)，在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，公式固然重要，更重要的是要同學(xué)們掌握用錯(cuò)位相減法和定義法推導(dǎo)公式的方法，并在推導(dǎo)中積極的思考，通過(guò)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)錯(cuò)位相減法以及特殊到一般、類(lèi)比與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)自己觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力，從而形成學(xué)生自己的獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想和解題方法，逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。