潤物細無聲

朱群

一、案例背景

眾所周知，函數是高中數學的重要概念之一，函數的思想和方法貫穿了整個高中數學教學，教學要求用集合與對應的語言刻畫函數概念，教學要通過對函數概念的理解，讓學生達到從直觀感知到抽象思維的發展，難度較高。

二、案例描述

師：（大家好?。┻@節課我們要學習函數，初中已經學過函數，大家能不能舉例幾個例子說明什么是函數？

生1：買作業本，需要付的錢隨作業本的數量變化而變化，付的錢是作業本的函數。

生2：早上上學離開家的距離和時間成正比例函數。

生3：y = 2x+1

師：不錯，剛剛大家已經舉了一些函數的例子，那我們來看看課本上的例子（多媒體展示）。

（課本例題）：一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是h=130t-5t2炮彈距地面高度h是時間t的函數嗎？為什么？

幾何畫板演示：函數圖像上的動點P標出橫、縱坐標，拖動點P，顯示時間和高度，直觀反映炮彈距離地面的高度隨時間t的變化情況。

（學生的眼神亮了）

生：（眾答）炮彈距地面的高度h是時間t的函數。

師：炮彈的高度h隨飛行時間t的變化而變化，所以炮彈距地面高度h是飛行時間t的函數。飛行時間t的變化范圍是數集A={t|0≤t≤26}，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數集B={h|0≤h≤845}，數集A中的任意一個時間t，在數集B中都有唯一的高度h和它對應。

師：現在老師給出3個問題（PPT展示）。

問題1：體檢時的心電圖，圖上點的橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物電流，y是不是x的函數？

激勵討論后，各組代表陳述觀點：

組1代表：1是函數，2也是函數，因為可以用圖象表示。

組2代表：1是函數，2不是函數，感覺有詐，但說不出來。

組3代表：同意一組觀點。

組4代表：1是函數，2不是函數，函數中y隨x的變化而變化，（上講臺指圖）可是這一段中，x逐漸增大的時候，y不知道咋個取值。

組5代表：網紅心電圖不是函數，心形部分y的變化有增加，有減小，不知道該算哪一段（指圖發言）?？荚嚦煽兪强荚嚧螖档暮瘮?，成績隨次數變化而變化。V組6代表：網紅心電圖不是函數，成績也不是，因為沒有解析式，也沒有圖像。

組7代表：同意六組結論。

師：各組都發表了自己的意見，到底是不是函數拿什么作為依據？這幾個題拿初中的定義來判斷似乎有點為難，那怎么辦？

生：（眾答）看書。（笑）

（學生閱讀）

一般地，我們有：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作：y=f（x）

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域（domain），與X的值相對應Y值叫作函數值，函數值的集合叫作函數的值域。

師：拿題目1對比，A相當于什么？

生4：（指圖）這一段時間，測心電圖的這段時間。

師：B相當于什么？

生5：（指圖）這部分生物電流職。

師：對應關系f是什么？

生：（猶豫）……

師：不太確定？這個對應關系能不能理解為這是圖像的對應關系？

生6：可以。但寫不出解析式。

師：一定要有解析式嗎？課本定義如何描述？

生7：確定的對應關系。喔，所以不一定要有解析式。

師：集合A中的任意一個時間x，能否在B中都有唯一的值和它對應？

生8：能。

師：所以結論是？

生：（眾答）是函數。

師：題目1中，任意一個時間，都能找到唯一的y值，生物電流和它對應，y是x的函數。

師：現在根據定義，請一組糾錯問題2。

組1代表：題目2中，心形位置，一個時間，有幾個y值和它對應，y不是x的函數。

師：請六組糾錯問題3。

組6代表：一次考試對應一個成績，是函數。

師：非常好，如果例3中，在第三次考試的時候，王同學生病請假了，沒有成績，請問，王同學的數學成績是不是考試次數的函數？

生9：不是函數，第三次考試沒有對應的。

師：非常好，A中的元素3沒有和它對應的值，我們再來解讀概念中的關鍵詞？

生10：兩個非空的數集A、B，對應關系f，任意一個數，唯一確定的數和它對應。

概念探究結束。

三、案例分析

“以學為主”的課堂教學絕非“學為中心”，也非“教為中心”，而是教與學的有效結合，教學強調學生的主體性，通過學生探索、學習獲得新知，形成學科思維。教師在課堂教學中充當的角色是引導者，設置合理有效的問題，是課堂教學有效性的保障。

1.問題情境創新化，激發學生學習興趣

高中數學課的通病是課堂氣氛不活躍，學生不愿意回答問題，其深層次的原因是老師在問題設置中沒有創新，學生興趣沒有被激發，難以融入課堂。創新型問題情境，能引發學生的認知和對課堂濃厚的興趣，激發學生思維，增強學生學習的內動力，從而達到以學為主的目的。

2.問題設置基礎性，注重探究問題本質

《高中數學課程標準》（2017版）中指出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養包含：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。高中數學課程標準強調教學活動是學科素養培養的主要途徑。對大部分學生而言，高中數學概念比較抽象，自主學習往往不知所措，找不到研究問題的入手點，也難深究其本質，沒有形成良好的數學思維，因而達不到高中數學核心素養要求，因此，概念教學中要注重體現基本概念的形成過程，從學生認知出發，設置基礎性問題，引導學生探究概念的本質，使學生經歷從具體實例中抽象出數學概念，促使學生準確理解和掌握概念，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

3.問題設置層次化，引導學生探究新知

高中數學課程標準中強調返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課堂要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐漸形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。高中數學概念教學中，問題設置層次化的目的在于引導學生由淺入深，一步一步發現問題的本質，構建良好的數學思維模式。問題之間要合理的銜接，要有啟發性，要照顧到不同層次的學生，讓所有學生都“有事做”，能思考，積極參與到課堂教學中。

學習的有效性依賴于學生愿不愿學，當學生能自覺參與和思考，學習的有效性自然就提高了?！耙詫W為主”的課堂模式中，合理、有效地預設問題，為學生探究問題明確方向，讓學生在探究中體驗成功的快樂，并逐漸構建學科知識體系。

（作者單位：云南省昆明市第三十中學）