類地坐標(biāo)系下慣導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)械編排的合理性分析

朱 琳，李京書，崔 玫

(1.海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266000； 2.海軍工程大學(xué)管理工程系，武漢 430033； 3.中國艦船設(shè)計研究中心，武漢 430000)

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)是綜合機(jī)電、光學(xué)、數(shù)學(xué)、控制及計算機(jī)等學(xué)科的尖端技術(shù)，廣泛應(yīng)用于航空航天航海等導(dǎo)航中，特別是在軍事領(lǐng)域的潛艇的水下長航，無法接收到外測信息，只能使用自主式導(dǎo)航系統(tǒng)，其重要意義更是不言而喻[1-2]。快速準(zhǔn)備(主要取決于慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)的時間)和高精度一直都是考核慣性導(dǎo)航系統(tǒng)性能優(yōu)劣的兩大重要指標(biāo)[3-5]，改善這兩大指標(biāo)也是該領(lǐng)域廣大學(xué)者的努力方向。

慣導(dǎo)系統(tǒng)的力學(xué)編排方式在文獻(xiàn)[6]中給出了指北方位慣性系統(tǒng)、自由方位慣導(dǎo)系統(tǒng)、游移方位慣性系統(tǒng)3種機(jī)械編排，這3種編排的共同點(diǎn)，都是將地平坐標(biāo)系當(dāng)作導(dǎo)航坐標(biāo)系，文獻(xiàn)[7]比較了幾類慣導(dǎo)系統(tǒng)的機(jī)械編排方法，提出利用運(yùn)動學(xué)約束改善低精度慣導(dǎo)系統(tǒng)的機(jī)械編排精度；在文獻(xiàn)[8]中3.5節(jié)分別給出了慣性系坐標(biāo)系機(jī)械編排、地球坐標(biāo)系機(jī)械編排、當(dāng)?shù)氐乩韺?dǎo)航坐標(biāo)系機(jī)械編排以及游動方位導(dǎo)航坐標(biāo)系機(jī)械編排，同時指出遠(yuǎn)距離導(dǎo)航普遍使用當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系機(jī)械編排，其原因在于導(dǎo)航數(shù)據(jù)用北向速度分量和東向速度分量、緯度、經(jīng)度、和距地球表面的高度來表示，而慣性系和地球系機(jī)械編排需要對速度矢量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并且指出計算機(jī)中精確表達(dá)地球引力場是非常困難的。因此傳統(tǒng)的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)通常是將當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系(通常是指“原點(diǎn)位于運(yùn)載體質(zhì)心，三軸分別指向所在地的東、北、天”，以后用“東-北-天”坐標(biāo)系)[9-10]作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，其優(yōu)點(diǎn)是能夠比較直觀的給出運(yùn)載體的位置、姿態(tài)、速度，但也存在很多問題：

1) 該“東-北-天”坐標(biāo)系在復(fù)雜重力場下運(yùn)動變化復(fù)雜，通常我們認(rèn)為重力方向是垂直于水平面向下，其反向延長線就認(rèn)為是天向，北向指向北極。但是當(dāng)位置更新，緯度的求解是速度分解到“東-北-天”坐標(biāo)系的北向除以地球半徑，這時就默認(rèn)為天軸反向延長線也就是重力方向過地球質(zhì)心了，但真實(shí)的情況并非如此，下面給出一張更接近于真實(shí)地球的仿真圖片(圖1)，圖1的不同顏色是為了區(qū)分重力加速度的大小。

從圖1可以看出地球是個非常不規(guī)則的球體，其重力場分布復(fù)雜，多數(shù)地方的重力加速度大小、方向均是不同的，由于“東-北-天”坐標(biāo)系的天向始終與重力方向相反，因此重力場復(fù)雜也就說明“東-北-天”坐標(biāo)系指向復(fù)雜，參考秦永元編寫的國家級規(guī)范教材對“東-北-天”坐標(biāo)系的定義：原點(diǎn)位于運(yùn)載體質(zhì)心，三軸分別指向所在地的東、北、天。對于該坐標(biāo)系認(rèn)定問題，大體有兩種認(rèn)識：一種是從工程實(shí)際出發(fā)，測站的鉛垂線所指的反方向，也就是“東-北-天”坐標(biāo)系中的“天向”被認(rèn)為是“工程”重力的反向延長線，“東-北-天”坐標(biāo)系跟蹤的是大地水準(zhǔn)面；另一種認(rèn)為“東-北-天”坐標(biāo)系是屬于地理概念，是為了更好的描述位置，確定地理經(jīng)緯度，假想一個參考橢球面，通常以參考橢球面的法線作為理論“東-北-天”坐標(biāo)系的天軸方向，以確定地理緯度，但這個理論的天軸在工程上很難獲取，現(xiàn)常用的參考旋轉(zhuǎn)橢球體就有五個，分別是克拉索夫斯基、海福德、1875年國際推薦、克拉克、CGCS2000，旋轉(zhuǎn)橢球體與大地水準(zhǔn)體非常接近，在垂直方向最大誤差約為150 m，垂線偏離真垂線最大誤差，如果這一誤差不被允許，如何確定該地理垂線的方向是工程實(shí)踐的一大難題。

2) 陀螺直接測量的是從慣性系到載體系的旋轉(zhuǎn)角速度，以“東-北-天”坐標(biāo)系為導(dǎo)航系，姿態(tài)更新過程需要扣除地球自轉(zhuǎn)角速度和地球系“東-北-天”坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度，動基座下該旋轉(zhuǎn)角速度不為0，需要尋求方法對其進(jìn)行補(bǔ)償，但復(fù)雜機(jī)動過程，補(bǔ)償效果常常不令人滿意。

3) 在極區(qū)導(dǎo)航時，以“東-北-天”坐標(biāo)系的機(jī)械編排并不適用，因為對于平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，在這種機(jī)械編排下的導(dǎo)航系y軸要始終指向真北，當(dāng)水下潛器通過極點(diǎn)附近時，真北很快變化，此時導(dǎo)航系y軸指向變化的速率將會無窮大。對于捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，則在極點(diǎn)處存在計算溢出的問題，以往的方法是采用游動方位坐標(biāo)系來解決這一問題，但該方法無法在極區(qū)指示方向，針對這一問題，將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°的橫坐標(biāo)系成為極區(qū)導(dǎo)航的研究熱點(diǎn)，但航行到緯度多少的時候切換到橫坐標(biāo)系下導(dǎo)航并沒有明確。

基于以上傳統(tǒng)的慣導(dǎo)系統(tǒng)選取“東-北-天”坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系存在的問題，考慮定義一種更加合理的坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系是非常必要的，本文詳細(xì)分析了適合作為導(dǎo)航坐標(biāo)系的必要條件，定義了一種新的坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，在新的導(dǎo)航坐標(biāo)系下，姿態(tài)更新精度將會大大提高，從原理上更適用于進(jìn)行動基座對準(zhǔn)、極區(qū)導(dǎo)航等任務(wù)。

1 新導(dǎo)航坐標(biāo)系的合理性

導(dǎo)航坐標(biāo)系作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)直接用來定位、定姿、定速的坐標(biāo)系，直接影響到導(dǎo)航精度，其重要性毋庸置疑，導(dǎo)航坐標(biāo)系選取不合理就會從根源上引入誤差，使得系統(tǒng)無論怎么補(bǔ)償改進(jìn)都不會令人滿意，在這里首先深入分析導(dǎo)航坐標(biāo)系在選取上需要把握的幾個原則，然后定義一個新的坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系。最后，建立新的慣導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)械編排、姿態(tài)、速度、位置更新方程。

為了便于分析和討論，首先定義幾個坐標(biāo)系，圖2中橢球代表地球，坐標(biāo)系表示如下：

地心慣性坐標(biāo)系i：原點(diǎn)位于地心，xi軸指向春分點(diǎn)，zi軸沿地球自轉(zhuǎn)軸，yi軸與xi、zi軸構(gòu)成右手系。

地球坐標(biāo)系e：原點(diǎn)位于地心，xe軸穿越本初子午線與赤道的交點(diǎn)，ze軸穿越地球北極點(diǎn)，ye軸穿越東經(jīng)90°子午線與赤道的交點(diǎn)。該坐標(biāo)系與地球固聯(lián)，見圖2中O-xeyeze坐標(biāo)系。

“東-北-天”坐標(biāo)系t：原點(diǎn)位于運(yùn)載體質(zhì)心，xt，yt，zt分別指向所在地的東、北、天，見圖2，O-xtytzt坐標(biāo)系，其中重力g方向與zt方向相反。

載體坐標(biāo)系b：原點(diǎn)位于載體質(zhì)心，xb，yb，zb分別指向右、前、上。

由于“東-北-天”坐標(biāo)系存在的前文提到的諸多問題，所選取的新坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，需要滿足以下條件：

① 該坐標(biāo)系要以載體質(zhì)心為原點(diǎn)，以便于進(jìn)行航跡推算。

② 該坐標(biāo)系盡可能嚴(yán)格，避免進(jìn)行大量近似。

③ 作為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，需要能夠確定。

基于以上原則考慮選取類地坐標(biāo)系n作為新的導(dǎo)航坐標(biāo)系，類地坐標(biāo)系定義如圖2中O-xnynzn坐標(biāo)系所示：以載體P為原點(diǎn)，zn是指向地球自轉(zhuǎn)軸的方向，xn在由地球自轉(zhuǎn)軸和重力加速度g所在平面上，與zn垂直指向外，yn軸方向由右手定則確定指向。

值得注意的是：載體和地球的萬有引力G是指向地心的，而載體的向心加速度ac是指向自轉(zhuǎn)軸的，而自轉(zhuǎn)軸是通過質(zhì)心的，則g=G-ac，且3個矢量都在載體與自轉(zhuǎn)軸所確定的平面內(nèi)，也就是說任意位置的重力加速度矢量都在該位置與自轉(zhuǎn)軸所確定的平面內(nèi)，靜基座條件下，自轉(zhuǎn)軸可由陀螺輸出確定指向，而重力加速度可由加速度計確定指向，即可確定O-xnynzn坐標(biāo)系的三軸指向。動態(tài)過程通過姿態(tài)方程和導(dǎo)航方程進(jìn)行姿態(tài)和位置的更新，不需要實(shí)時確定坐標(biāo)系指向。

為了便于位置更新，定義切向坐標(biāo)系R系：以載體P為原點(diǎn)，zR在OP延長線上指向外，xR在以O(shè)位圓心、OP為半徑的圓上P點(diǎn)的切線方向指向自轉(zhuǎn)軸，yR軸方向由右手定則確定指向。

需要強(qiáng)調(diào)的是：如圖2所示，對于不規(guī)則的地球，重力不指向地心，因此傳統(tǒng)的慣導(dǎo)系統(tǒng)將速度分解在yt方向的分量除以地球短軸半徑來表示緯度的變化率，這是不嚴(yán)格的，準(zhǔn)確的表達(dá)應(yīng)該是載體速度在以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑做一個圓，在這個圓上P點(diǎn)處的切線方向的速度分量除以O(shè)P來表示緯度變化率(由于對橢球曲率的測量問題，不同國家采用不同的參考旋轉(zhuǎn)橢球體，對同一點(diǎn)的緯度標(biāo)繪也不一致)。

則可以看出類地坐標(biāo)系具有以下特征：

① 類地坐標(biāo)系以載體質(zhì)心為原點(diǎn)，便于航跡推算。

② 類地坐標(biāo)系n系是由地球坐標(biāo)系e系通過旋轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)軸得到的，旋轉(zhuǎn)的角度只和P點(diǎn)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度有關(guān)，只繞一個軸旋轉(zhuǎn)，屬于基本旋轉(zhuǎn)方式。避免了像“東-北-天”坐標(biāo)系一樣需要進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)系變換，況且旋轉(zhuǎn)次序影響旋轉(zhuǎn)效果，需要小角度近似，這樣在極區(qū)角度變化很大的時候，也能夠保證導(dǎo)航和定姿精度。

③z軸方向就是自轉(zhuǎn)軸的方向，通過靜止時陀螺組件輸出的矢量，其指向即可確定，重力加速度計矢量g可由加速度計輸出確定，則根據(jù)定義三軸指向可知，基準(zhǔn)坐標(biāo)系可以確定。

⑤ 由于引入了切向坐標(biāo)系R系，使得經(jīng)緯度的更新更加嚴(yán)格，從原理上對地球本身的形狀沒有要求。

⑥ 對于靜基座下，“東-北-天”坐標(biāo)系也是確定不變的，通過對g矢量的解析即可確定，因此，從原理上，靜基座下，無論是以“東-北-天”坐標(biāo)系還是以類地坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，其導(dǎo)航精度相當(dāng)，一旦運(yùn)動起來，“東-北-天”坐標(biāo)系需要進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，本文所提機(jī)械編排才會展示其優(yōu)越的性能。

“東-北-天”坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn)在于能夠比較直觀的給出符合人們習(xí)慣的運(yùn)載體的位置、姿態(tài)、速度，其實(shí)這一環(huán)節(jié)完全可以在后期的位置姿態(tài)描述中進(jìn)行投影，不需要參與到導(dǎo)航方程中的迭代解算(避免“東-北-天”坐標(biāo)系產(chǎn)生的誤差引入迭代運(yùn)算)。如圖2所示，導(dǎo)航解算過程不需要經(jīng)過“東-北-天”坐標(biāo)系，“東-北-天”坐標(biāo)系僅僅作為導(dǎo)航信息表述坐標(biāo)系。

2 新的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)機(jī)械編排與傳統(tǒng)編排方法的性能分析

為了說明類地坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系的優(yōu)勢，將兩種方法進(jìn)行比較。

首先給出傳統(tǒng)的“東-北-天”坐標(biāo)系下慣導(dǎo)系統(tǒng)的基本方程：

姿態(tài)方程：

(1)

速度方程：

(2)

位置方程：

(3)

下面選用類地坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系，直接給出新的導(dǎo)航基本方程：

姿態(tài)方程：

(4)

速度方程：

(5)

位置方程：

(6)

(7)

(8)

關(guān)于位置方程的更新，由圖2，顯然式(6)比式(3)準(zhǔn)確。

那么可得結(jié)論，此機(jī)械編排比傳統(tǒng)以“東-北-天”坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系的編排更為準(zhǔn)確。

3 可行性仿真驗證

為了說明算法的有效性和合理性，這里通過軌跡生成器模擬陀螺和加速度計的輸出，給出不同機(jī)動狀態(tài)下的輸出運(yùn)動軌跡以便于誤差比較。由于實(shí)驗條件限制，靜基座實(shí)驗理論上和傳統(tǒng)的編排方法沒有任何優(yōu)勢，這一點(diǎn)在文中第二節(jié)⑥進(jìn)行了闡述，而運(yùn)動起來，又不易找到理想的比對信息，因此這里只給出仿真實(shí)驗驗證算法的有效性。

載體的仿真航行時間為900 s，起始位置是[緯度，經(jīng)度，高度]=[34°，108°，380 m]，初始航行狀態(tài)是靜止，這里使載體進(jìn)行加速、左轉(zhuǎn)彎、右轉(zhuǎn)彎、抬頭、低頭、減速等不同機(jī)動，以充分驗證該編排算法的有效性和合理性，具體運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)如表1所示。

各仿真參數(shù)為：三個陀螺的常值漂移均為0.01 (°)/h，隨機(jī)漂移均為0.001 (°)/h；三個角速度計的常值零偏均為10-5g，隨機(jī)誤差均為10-5g；初始對準(zhǔn)以后的初始水平姿態(tài)(俯仰、橫滾)誤差角30″，初始方位誤差角3′；初始速度誤差(0.01 m/s，0.01 m/s，0.01 m/s)。

該試驗通過已知的運(yùn)動信息及地球信息，模擬出混入常值和隨機(jī)誤差的陀螺和加速度計的輸出，然后利用本文所提的機(jī)械編排方法解算出速度信息，姿態(tài)信息及位置信息，并和已知運(yùn)動軌跡進(jìn)行比較。

表1 運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)

圖4給出了整個運(yùn)動過程的速度解算效果，分別給出了仿真軌跡真值V0，通過本文所提的新的機(jī)械編排方法借助陀螺加速度計輸出解算出來的軌跡V，以及解算的速度誤差(以上兩者做差)δV；圖5給出了整個運(yùn)動過程的姿態(tài)解算效果，分別給出了仿真姿態(tài)真值φ0，通過本文所提的新的機(jī)械編排方法借助陀螺加速度計輸出解算出來的載體姿態(tài)φ，以及解算的姿態(tài)誤差(以上兩者做差)δφ；圖6給出了整個運(yùn)動過程的位置解算效果，分別給出了仿真位置真值P0，通過本文所提的新的機(jī)械編排方法借助陀螺加速度計輸出解算出來的位置P，以及解算的位置誤差(以上兩者做差)δP。

4 結(jié)論

新構(gòu)建的機(jī)械編排方法中，導(dǎo)航解算是在類地坐標(biāo)系下完成的，姿態(tài)的更新精度更高，將類地坐標(biāo)系投影到“東-北-天”坐標(biāo)系下，符合人們的直觀表述，有利于在一個坐標(biāo)系下改善“東-北-天”坐標(biāo)系下極區(qū)導(dǎo)航問題。