基于排隊(duì)論的維修保障裝備數(shù)量確定研究

吳同晗，陳春良，張仕新，丁 蘋，劉 彥

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 裝備保障與再制造系，北京 100072；2.陸軍參謀部第2通信站指揮自動化站網(wǎng)絡(luò)管理室，北京 101114)

維修保障裝備是部隊(duì)完成戰(zhàn)時維修保障任務(wù)的物質(zhì)基礎(chǔ)，在維修保障力量體系中具有極為重要的地位。目前部隊(duì)配屬的維修保障裝備在數(shù)量上存在冗余，其規(guī)模與作戰(zhàn)力量極不適應(yīng)。如何針對戰(zhàn)時各種維修保障方式配備與作戰(zhàn)力量規(guī)模相適應(yīng)的維修保障裝備數(shù)量已成為部隊(duì)保障力量運(yùn)用研究中急需解決的問題。目前分析維修保障裝備數(shù)量需求的方法有很多。陳威利用模糊回歸分析方法求出維修保障裝備與維修能力滿足度的相關(guān)函數(shù)[1]與求取維修任務(wù)和維修保障裝備數(shù)量之間的解析關(guān)系式[2]兩種思路,分別計(jì)算出維修保障裝備數(shù)量并給出了示例分析。文獻(xiàn)[3]從能力需求的角度出發(fā)對維修保障裝備體系進(jìn)行了分析并相應(yīng)地運(yùn)用IDEF0技術(shù)對上述分析進(jìn)行了形式化描述，最終結(jié)合維修任務(wù)預(yù)測了維修保障裝備的數(shù)量。但這些文獻(xiàn)對于戰(zhàn)時維修保障方式考慮的不夠全面，所提出的維修保障裝備數(shù)量確定方法也就不具備代表性，無法形成說服力。因此本文首先明確戰(zhàn)時維修保障主要有伴隨維修保障與定點(diǎn)維修保障兩種形式，在此基礎(chǔ)之上，借鑒排隊(duì)論理論[4-6]分別對這兩種維修保障形式進(jìn)行分析并建立了不同的排隊(duì)系統(tǒng)，根據(jù)該系統(tǒng)模型提供的信息，以裝備完好率和受損裝備等待維修時間為度量標(biāo)準(zhǔn)，對部隊(duì)?wèi)?yīng)配備的維修保障裝備數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，從而能夠有效地提高維修保障裝備的工作效率，為部隊(duì)維修保障力量體系規(guī)模設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

1 維修保障裝備數(shù)量確定總體思路

由于不同的維修保障裝備運(yùn)用的場合不同，有的運(yùn)用在伴隨保障力量中實(shí)施現(xiàn)地?fù)尵燃皳屝薰ぷ?，有的運(yùn)用在固定修理點(diǎn)對來往的作戰(zhàn)力量進(jìn)行定點(diǎn)維修及保養(yǎng)工作。為計(jì)算出合理的維修保障裝備數(shù)量，運(yùn)用排隊(duì)論方法分別對定點(diǎn)維修保障和伴隨維修保障兩種維修保障方式進(jìn)行分析，并以作戰(zhàn)裝備數(shù)量、作戰(zhàn)裝備故障率及故障裝備平均修復(fù)率為輸入條件建立排隊(duì)系統(tǒng)。根據(jù)保障形式的不同以及作戰(zhàn)力量對維修保障裝備的不同任務(wù)需求，在計(jì)算維修保障裝備數(shù)量時，對戰(zhàn)時搶救搶修的排隊(duì)系統(tǒng)以作戰(zhàn)裝備完好率為度量標(biāo)準(zhǔn)，而對戰(zhàn)時搶救搶修的排隊(duì)系統(tǒng)則以受損裝備等待時間為度量標(biāo)準(zhǔn)，并分別對這兩個度量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。最后代入不同數(shù)值的維修保障裝備數(shù)量，即可得到最佳的維修保障裝備數(shù)量值。維修保障裝備數(shù)量確定思路模型如圖1所示。

2 排隊(duì)系統(tǒng)的建立

2.1 排隊(duì)系統(tǒng)的假設(shè)

戰(zhàn)時維修保障裝備主要對損壞的作戰(zhàn)裝備進(jìn)行修復(fù)性維修，產(chǎn)生待修裝備的時機(jī)與數(shù)量沒有規(guī)律。為方便研究，本文假設(shè)所有類型的維修保障裝備在進(jìn)行修復(fù)性維修工作皆滿足以下4個條件：

1) 發(fā)生損壞的作戰(zhàn)裝備數(shù)量僅與某時段的長短有關(guān)，而與這一時段的起始時刻無關(guān)。

2) 在足夠小的時間段內(nèi)，僅可能產(chǎn)生最多1臺損壞裝備，不可能產(chǎn)生多臺損壞裝備?？砂聪率奖硎荆?/p>

(1)

式(1)中，p(t)為t時間段內(nèi)產(chǎn)生2臺或以上的損壞裝備的概率。

3) 損壞裝備的數(shù)量與不同時間間隔無關(guān)，即認(rèn)為裝備損壞是相互獨(dú)立的。

4) 任意時間段產(chǎn)生損壞裝備的概率之和為1，裝備損壞數(shù)量滿足有限性，即：

根據(jù)巴爾姆-欣極限定理相關(guān)內(nèi)容[7]：若能保證每個相互獨(dú)立的小強(qiáng)度流是平穩(wěn)有序的，則足夠多的這些小強(qiáng)度流之和近似滿足Passion輸入。因此我們可以認(rèn)為，在時間段t內(nèi)產(chǎn)生y臺損壞裝備的概率近似服從強(qiáng)度為λ的Passion分布，其表達(dá)式為：

(2)

確定時間段t內(nèi)產(chǎn)生y臺損壞裝備的概率后即可通過相關(guān)分析確定對應(yīng)維修保障裝備的數(shù)量。

由式(2)可知，在[0,t]時間段內(nèi)，沒有產(chǎn)生任何作戰(zhàn)損壞裝備的概率為：

P0(t)=e-λt

(3)

因此出現(xiàn)至少1臺損壞裝備的概率為：

FTt=1-P0(t)=1-e-λt,t>0

(4)

其概率密度為：

(5)

因此可以確定產(chǎn)生受損裝備的間隔時間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，對產(chǎn)生損壞的作戰(zhàn)裝備修復(fù)時間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，假設(shè)各維修保障裝備服務(wù)于損壞的作戰(zhàn)裝備的平均時間相同且相互獨(dú)立，則在[0,t]時間段內(nèi)完成服務(wù)的概率為：

M(t)=1-e-μt,t>0

(6)

2.2 伴隨維修保障的排隊(duì)系統(tǒng)建立

伴隨維修保障的排隊(duì)系統(tǒng)是指：作戰(zhàn)力量附屬維修保障力量在戰(zhàn)時運(yùn)用多種發(fā)揮搶救搶修功能的維修保障裝備對若干受損裝備或淤陷裝備同時進(jìn)行維修保障工作的系統(tǒng)。該系統(tǒng)模型中作戰(zhàn)裝備的數(shù)量是有限的，屬于有限源模型。假設(shè)某種維修保障裝備數(shù)量為C，某一類作戰(zhàn)裝備數(shù)量為Y(Y>C)，且維修保障裝備服務(wù)于同類別作戰(zhàn)裝備時，技術(shù)條件相同，則根據(jù)Kendall-Lee的符號表示方法[8]，可以將上述排隊(duì)系統(tǒng)表示為：

M/M/C/∞/Y/FCFS

其中，F(xiàn)CFS表示先到先服務(wù)的服務(wù)規(guī)則。

設(shè)作戰(zhàn)裝備故障率為λ(臺/小時)，修復(fù)率為μ(臺/小時)，則可以確定該種維修保障裝備的工作強(qiáng)度為：

(7)

記受損裝備數(shù)量為X，則維修保障裝備空閑概率為：

(8)

X臺作戰(zhàn)裝備受損的概率為：

當(dāng)1≤X≤C時，有：

(9)

當(dāng)C+1≤X≤Y時，有：

(10)

受損裝備的平均數(shù)量為：

(11)

排隊(duì)待修的受損裝備數(shù)量為：

(12)

戰(zhàn)時的伴隨維修保障主要是以盡可能少的時間恢復(fù)受損作戰(zhàn)裝備效能，使之重新投入戰(zhàn)斗中，因此需要引入裝備完好率這一指標(biāo)，得到能夠保證完好的作戰(zhàn)裝備數(shù)量最多時所需配備的維修保障裝備數(shù)量。

裝備完好率的計(jì)算公式為：

(13)

2.3 定點(diǎn)維修保障的排隊(duì)系統(tǒng)建立

定點(diǎn)維修的排隊(duì)系統(tǒng)是指在修理任務(wù)比較集中的區(qū)域開展定點(diǎn)保障的系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，可認(rèn)為排隊(duì)等待服務(wù)的作戰(zhàn)裝備數(shù)量無限制，符合“先到先修理”的服務(wù)規(guī)則，因此上述排隊(duì)系統(tǒng)表示為：

M/M/C/∞/∞/FCFS

戰(zhàn)時的定點(diǎn)維修排隊(duì)系統(tǒng)基本處于多服務(wù)臺并行工作的狀態(tài)，其又可分為集中配置和分散配置兩種情況，但經(jīng)驗(yàn)證可確定集中配置相對于分散配置而言工作效率更高，因此本文僅考慮集中配置情況下的定點(diǎn)維修。

設(shè)作戰(zhàn)裝備故障率為λ(臺/小時)，平均修復(fù)率為μ(臺/小時)，則可以確定當(dāng)有C臺維修保障裝備進(jìn)行集中保障時其工作強(qiáng)度為：

ω′=λ/(Cμ)

(14)

記受損裝備數(shù)量為X，則維修保障裝備空閑概率為：

(15)

排隊(duì)待修的受損裝備數(shù)量為：

(16)

戰(zhàn)時定點(diǎn)維修保障主要體現(xiàn)了所有待服務(wù)的受損裝備向指定地點(diǎn)集結(jié)的特點(diǎn)，這時就需要決策者配備合理的維修保障數(shù)量，避免排隊(duì)的隊(duì)伍過長造成擁堵，不利于維修保障工作的開展。因此在定點(diǎn)維修保障這一情況中，引入受損裝備等待維修時間這一指標(biāo)，基于此計(jì)算合理的維修保障裝備數(shù)量，減少排隊(duì)隊(duì)列長度，提高維修保障裝備的工作效率。

受損裝備等待維修時間為：

(17)

3 示例分析

某作戰(zhàn)分隊(duì)擁有輪式裝甲裝備20臺，由輪式裝甲搶救車、輪式裝甲搶修車和保養(yǎng)車負(fù)責(zé)對其進(jìn)行維修保障；輕武器設(shè)備10臺，由輕武器設(shè)備搶修車和保養(yǎng)車負(fù)責(zé)對其進(jìn)行維修保障。已知輪式裝甲裝備和輕武器設(shè)備的初始參數(shù)如表1所示。假設(shè)所有裝備全部參戰(zhàn)，則求所應(yīng)配備的各類維修保障裝備的數(shù)量。

表1 作戰(zhàn)裝備初始參數(shù)

3.1 伴隨維修保障的模型求解

戰(zhàn)時負(fù)責(zé)對輪式裝甲裝備進(jìn)行伴隨維修保障的裝備為輪式裝甲搶救車和輪式裝甲搶修車；對輕武器設(shè)備進(jìn)行伴隨維修保障的裝備為輕武器設(shè)備搶修車。以輪式裝甲裝備配備的維修保障裝備數(shù)量為例進(jìn)行計(jì)算。為方便研究，可將1臺輪式裝甲搶救車和1臺輪式裝甲搶修車的組合視為1個維修保障裝備單元。根據(jù)式(7)—式(13)，可計(jì)算出取不同維修保障裝備單元數(shù)量時輪式裝甲裝備的完好率，如表2所示。

表2 輪式裝甲裝備完好率

由此得到輪式裝甲裝備對應(yīng)的維修保障裝備單元數(shù)量與裝備完好率之間的關(guān)系如圖2所示。

對圖2進(jìn)行分析，可以看出隨著維修保障裝備單元數(shù)量的變化，輪式裝甲裝備完好率的變化呈先遞增再遞減最后平穩(wěn)的趨勢，若以裝備完好率為評判依據(jù)，則當(dāng)維修保障裝備單元數(shù)為8個時，輪式裝甲裝備的完好率最高(87.3%)，應(yīng)注意的是，例中輪式裝甲裝備數(shù)量為20臺，則可計(jì)算出其完好數(shù)量為20×87.3%=17.46≈17(根據(jù)實(shí)際情況向下取整)。基于此考慮，根據(jù)表2相關(guān)數(shù)據(jù)，當(dāng)單元數(shù)量取7時，輪式裝甲裝備完好數(shù)量也為16臺，因此可最終確定輪式裝甲裝備維修保障裝備單元數(shù)量應(yīng)取8個。

依然按照上述思路可將輕武器設(shè)備的維修保障裝備單元數(shù)量確定為5個。

因此，伴隨維修保障時所需輪式裝甲搶救車8臺，輪式裝甲搶修車8臺，輕武器設(shè)備搶修車5臺。

3.2 定點(diǎn)維修保障的模型求解

戰(zhàn)時負(fù)責(zé)對輪式裝甲裝備進(jìn)行定點(diǎn)維修保障的裝備為輪式裝甲搶修車和保養(yǎng)車；對輕武器設(shè)備進(jìn)行定點(diǎn)維修保障的裝備為輕武器設(shè)備搶修車和保養(yǎng)車。仍以輪式裝甲裝備配備的維修保障裝備數(shù)量為例進(jìn)行計(jì)算，將1臺輪式裝甲搶修車和1臺保養(yǎng)車的組合視為1個維修保障裝備單元。根據(jù)式(14)—式(17)，可計(jì)算出取不同維修保障裝備單元數(shù)量時受損輪式裝甲裝備的等待維修時間(Wq0)，如表3所示。

表3 通用車輛裝備排隊(duì)待修數(shù)量與等待維修時間

由此得到維修保障裝備單元與輪式裝甲裝備等待維修時間之間的關(guān)系如圖3所示。

由圖3可知，當(dāng)取2個針對輪式裝甲裝備的維修保障裝備單元時，Wq0下降速度為最快，在此之后則趨于平緩，并且當(dāng)維修保障裝備單元數(shù)為2時，Wq0的值趨近于0。說明維修保障裝備單元數(shù)量取2時能夠在保證等待時間較短的基礎(chǔ)之上提高排隊(duì)系統(tǒng)工作效率的幅度是最大的，因此可將輪式裝甲搶修車和保養(yǎng)車各配置2臺。

按照上述思路可將負(fù)責(zé)對輕武器設(shè)備進(jìn)行定點(diǎn)維修保障的輕武器設(shè)備搶修車和保養(yǎng)車各配置3臺。

綜合3.1節(jié)與3.2節(jié)的分析可得，應(yīng)為該作戰(zhàn)分隊(duì)配備的維修保障裝備數(shù)量如表4所示。

表4 作戰(zhàn)分隊(duì)維修保障裝備配備數(shù)量

4 結(jié)論

本文采用排隊(duì)論方法，對基于伴隨維修保障與定點(diǎn)維修保障兩種情況的維修保障裝備數(shù)量確定過程進(jìn)行了研究，所采用的維修保障裝備數(shù)量計(jì)算方法具備一定的科學(xué)性與合理性，能夠?yàn)榇_定部隊(duì)維修力量運(yùn)用規(guī)模方面的研究提供參考，具備一定的應(yīng)用價(jià)值，但在多軍兵種聯(lián)合作戰(zhàn)的大趨勢下如何確定適用于其他軍兵種力量的維修保障裝備數(shù)量體系仍是有待攻克的難題，因此未來將對空軍、海軍的維修保障裝備數(shù)量需求進(jìn)行進(jìn)一步研究。