水下單兵火箭彈彈道計算

龔鉑淳，馬少杰，魏 健

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

近年來，我國南海海域沖突不斷升級，國土安全面臨著嚴峻的挑戰。面對復雜多樣的現代海洋戰場，各種水下武器的研制成為了當下研究的熱點[1]。在本文中所要研究的對象——水下單兵火箭彈有著大威力、高速度、高精度的特點，完全符合現代海洋戰爭的需求。通常用于水下武器引信的解保環境力有以下幾種，爬行力、火藥燃氣、彈體壓力、水流沖擊力等[2]。本文考慮到，水的阻力遠大于空氣，所以火箭彈在水下做衰減運動的過程中會受到較大爬行阻力的作用，據此在火箭彈引信的設計中，提出將水下的爬行力作為解保環境力的設想。為了驗證這一設想，需要對水下火箭彈的運動過程進行分析，求解出速度和加速度等運動學參數，以此推算是否有足夠的爬行力解除保險。

目前水下火箭彈的相關研究，主要是針對火箭彈從靜止開始發射的單一彈道[3]。本研究根據水下單兵火箭彈的特點，對單一火箭彈彈道進行完善，分析了火箭彈在水下拋射和火箭助推的運動全過程。用MATLAB解算彈道方程，得出速度和加速度隨時間變化的曲線圖。結合計算結果，分析火箭彈在運動過程中的運動學和動力學參數，驗證爬行力作為解保環境力的可行性。這對水下火箭彈引信保險機構的設計，以及水下火箭彈的射擊精度和可靠性都具有重要意義。

1 火箭彈水下彈道特性分析

為了減少誤差、提高仿真精度，需要先行對彈道特點進行分析，為彈道仿真方案的設計提供參考和支撐[4]。水下火箭彈的工作原理可以參照陸上火箭彈的彈道特性進行分析[5]，如圖1所示。火箭彈先由發射架進行拋射，在短時間內獲得一個較大的初速度，隨后在水的阻力作用下，速度迅速衰減。等達到一定安全距離后，火箭發動機點火進行二次加速，火箭彈速度衰減變慢，在一段時間后速度開始緩慢回升。隨后發動機停止工作，火箭彈失去推力，速度再次迅速衰減。根據以上彈道特性，火箭彈在水下運動的全過程包括拋射和火箭助推后的兩部分，為了方便說明，下文將火箭助推部分的彈道稱為第二段彈道。本文主要研究在一定初速度下，火箭彈在水下運動的全過程。

1.1 建立火箭彈水下模型

水下火箭彈的運動遵循牛頓力學定律、質量和能量守恒定律等。相關領域的研究以往集中在魚雷的航行力學上，鑒于其和魚雷在外形上差別不大，主要是發動機的輸出方式不同，所以水下火箭彈的主動段彈道計算可以借鑒魚雷航行力學的有關知識[6]。據此進行如下模型假設：

1) 流體無黏性，不可壓縮。

2) 流體是無限的，在航行器運動之前是靜止的。

3) 火箭彈為剛體，其外形關于xOy、xOz平面對稱。

4) 火箭彈重心與浮心距離較小，浮心處速度與質心處速度相等。

5) 不考慮火箭彈的偏航運動。

6) 火箭彈在運動過程中，其質量與質量分布保持不變。

在考慮初速度下根據所作的模型假設對航行體在水下的運動過程進行受力分析，如圖2所示。

1.2 水下火箭彈水下運動受力分析

根據圖2中的受力分析，列舉水下火箭彈所受的力及其公式[7]:

1) 阻力

式中：CxS為阻力因數；S為魚雷最大橫截面積。

2) 法向流體動力(升力)

3) 俯仰力矩

沿彈體坐標系OZ軸(橫軸)的力矩稱為俯仰力矩，因為它的作用效果使航行器產生俯仰運動。俯仰力矩也稱為縱向力矩。俯仰力矩為位置導數可表示為

4) 旋轉運動的阻力及阻力矩

5) 非定常運動附加慣性力

2 水下火箭彈縱向運動方程組

2.1 縱向運動方程的基本假設

火箭彈在水下的運動可以分解為縱向運動與側向運動，縱向運動為一平面運動，其運動平面與火箭彈的縱對稱面重合，且為空間垂直平面。而側向運動是指其在水平面的運動，包括火箭彈在水平面內的運動和繞軸轉動。為了避免由于數學模型過于復雜而造成分析和處理上的困難，故而要在條件允許范圍內盡可能簡化模型[8]。顯然，本研究的對象是火箭彈在水下的縱向運動，因此為了將其分離出來單獨研究，再對模型做如下假設：

1) 彈體對其縱對稱面是對稱的，在縱向運動中，不產生側向力、偏航力矩和橫滾力矩。

2) 彈體縱對稱面保持在垂直面內。

3) 火箭彈彈道為垂直面內的平面彈道。

2.2 水下火箭彈縱向運動方程組

根據上文對火箭彈在水下全過程的分析，水下火箭彈縱向運動方程組包含了拋射彈道和第二段彈道方程組兩部分。充分考慮火箭彈在拋射段和第二段所受的不同外力，分別列出上述兩部分彈道方程組。

火箭彈在水下的空間運動方程組由動力學方程組和運動學方程組組成。據動量和動量矩定理，將彈體的全部外力及外力矩代入式(1)中，即是動力學方程組。運動學方程組由式(2)～式(5)組成，分別是攻角及側滑角與速度分量之間的關系、速度坐標系到地面坐標系的轉換方程、彈體坐標系到地面坐標系的轉換方程、彈體角速度在彈體坐標系中的投影[9]。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據上文關于分離縱向運動方程的假設，則地面坐標系、彈體坐標系、速度坐標系、半速度坐標系都是同一平面，首先結合火箭彈在水下的空間運動方程組，推導出在縱向平面內水下火箭彈的拋射段彈道如下：

(6)

火箭助推后，在原有拋射彈道方程組的基礎上，再考慮火箭推力和燃料質量隨時間的變化，可得縱平面內水下火箭的第二段彈道方程組如下：

(7)

式中：m1為火箭彈質量隨時間t變化的函數；Tt為火箭彈所受的推力隨時間t變化的函數，其他參數的定義與拋射段彈道方程組保持一致。

2.3 附加慣性質量

附加質量是水下物體運動分析的重要參數。物體在流體中變速運動，推動物體的力不僅要為增加物體的動能做功，還要為增加周圍流體的動能做功。因此質量為m的物體要獲得加速度a，施加在它上面的力F將大于物體質量m與加速度a的乘積，增加的這部分質量就是附加質量。某些物體的附加質量數值較大，不容忽略[10]。

坐標系選定后，水下航行器的附加質量僅與其幾何形狀有關。在上文的建模中，假設水下航行器具有兩個對稱面，即同時關于及兩個平面對稱，則不為零的附加質量有8個，即λ11，λ22，λ26，λ33，λ35，λ44，λ55，λ66，并且有λ33=λ22，λ66=λ55，λ55=-λ26，進一步簡化可得：

通過數值計算來模擬物體附加質量的試驗測量過程，物體在流場中按照設定的運動規律做非定常運動，監控流體對物體的作用力及力矩，通過對物體受力的分析，從中提取包括物體的附加質量在內的流體動力參數。為了計算上述各分量，需要模擬回轉體沿x軸、y軸加速運動及繞z軸的加速轉動。使回轉體沿y軸加速運動，通過監控升力系數和力矩系數Mz可以獲得λ22和λ26；使回轉體沿x軸加速運動，通過監控阻力系數Cx可以獲得λ11；使回轉體繞z軸加速轉動，通過監控相應的力矩系數Mz可以獲得λ66。

3 彈道計算

設火箭彈總質量(含火箭發動機和燃料)M=0.5 kg，燃料質量為50 g，燃燒持續時間為300 ms，假設火箭燃料均勻燃燒，故發射后彈的實際質量為m=0.5～170 kg，又海水密度p=1 024 kg/m，所以水下火箭彈所受浮力約為B=1.4 N，重力約為G=4.9 N?，F忽略火箭彈從發射到獲得一定初速度的短暫時間，假設某一時刻火箭彈的速度為80 m/s，并從此時開始計時，對火箭彈在水下運動的全過程進行彈道計算。設火箭發動機的推力曲線如圖3所示。

由圖3可得推力-時間的函數，表達式為

(8)

將上述模型假設中的所有參數代入水下彈道方程組(6)和方程組(7)中。上述兩個方程組都是封閉的，設置水下火箭彈運動的初值條件，v=80 m/s，α=θ=0，運用MATLAB工具來求解彈道微分方程組，得到速度隨時間變化的曲線如圖4所示。

由圖4可知：火箭彈在水下拋射的初速度為80 m/s，受到水下阻力的作用，速度迅速下降。T1時刻火箭發動機的工作，火箭的推力不斷上升，水下火箭彈的速度衰減也逐漸變慢，并在60 ms處開始回升，此時火箭彈速度為30 m/s。在220 ms處，火箭彈速度達到最大值62 m/s，并在短暫時間內趨于穩定。隨后火箭推力下降，水下火箭彈的速度又在短時間內迅速下降。在T2時刻，發動機燃料耗盡，速度最終趨于平緩。

火箭彈水下彈道方程組經過四階龍格庫塔解算后，每段方程得到40個數據，對所得數據進行非線性擬合，可得水下火箭彈速度擬合的分段方程組如下：

1) 當0

f(ν)=1.996×107t4-2.008×106t3+

9.225×104t2-2899t+80

2) 當0.03 s

f(ν)=1.548×105t4-9.232×104t3-

2.001×104t2-1576t+69.56

3) 當0.18 s

f(ν)=1.09×107t4-1.0656×107t3+

3.906×106t2-6.376×105t+3.914×104

4) 當0.27 s

f(ν)=-4.184×106t3+3.894×106t2-

1.2134×106t+1.262×105

5) 當t>0.33 s時

f(ν)=-2.0245×105t4+4.488×105t3-

3.714×105t2+1.361×105t-1.869×104

對求得的水下火箭彈速度擬合方程組進行求導即可獲得加速度方程組，繪制加速度隨時間變化的曲線如圖5所示。

由圖5可知，火箭彈在水下拋射時受到的阻力很大，加速度絕對值達到250g。在拋射過程中，由于速度在不斷衰減，對應的減加速度也在不斷減小。在T1時刻發動機開始工作，推力不斷上升，火箭彈的速度衰減繼續減小，在60 ms處加速度變為正值，速度開始回升，加速度也不斷增大，在120 ms處達到最大，約為30g左右。隨后，發動力推力保持恒定，火箭速度趨于穩定，在230 ms處加速度回落至0。隨后發動機推力減弱，加速度開始由0變為負值。在T2時刻，水下火箭彈完全失去動力，其減速加速度很明顯，峰值達到65g左右。在失去動力后，火箭彈作自由運動，速度逐漸減小至0，加速度也對應地減小至0。

4 結論

通過建立模型，對水下火箭彈進行受力分析，列出其在縱向平面下拋射段彈道和第二段彈道方程組。列舉工程實例，利用MATLAB數學工具，求解得到水下火箭彈在有初速情況下的推力曲線，并繪制速度與加速度曲線。由曲線圖得火箭彈在水下運動時速度和加速度隨時間的變化規律，獲得了爬行力的數值和持續時間，驗證了火箭彈在水下運動過程中，爬行力足夠大，持續時間足夠長，可以作為引信的遠解環境力，為后續引信保險機構設計提供了理論支撐。