結構拓撲優(yōu)化方法及其機器人輕量化應用現(xiàn)狀及發(fā)展*

姚 屏，林 源，湯 勇，曾 琴

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州 510640；2.廣東技術師范學院機電學院，廣東廣州 510635；3.東莞鴻圖精密壓鑄有限公司，廣東東莞 523000）

0 引言

隨著人口紅利逐步消失，過去幾十年通過廉價勞動力支撐的“中國制造”發(fā)展模式已難以為繼，在這種背景下，各地正積極推進“機器換人”工程，機器人迎來了千載難逢的發(fā)展機遇。傳統(tǒng)機器人的本體結構未經過輕量化的優(yōu)化設計，雖穩(wěn)固但笨重，導致本體結構質量偏大，從而變相使機器人耗費更多的能源進行無用的運動，并限制了載荷上限以及工作環(huán)境。因此，如何在結構已經基本定型時進一步提升性能、減少能耗、提高機器人的負載/自重比，實現(xiàn)機器人輕量化，成為當前機器人本體研究熱點。研究人員目前主要圍繞新材料以及結構優(yōu)化兩方面展開機器人本體輕量化探索。在新材料方面，英國謝菲爾德大學先進制造研究中心(AMRC)[1]以及阿聯(lián)酋Exechon有限公司[2]等都研發(fā)出以碳纖維復合材料等新材料制造的工業(yè)機床以及機器人，開拓碳纖維復合材料在工業(yè)領域的新嘗試。目前更多機器人輕量化的研究還是集中在結構優(yōu)化上，由于機器人本體結構大多使用傳統(tǒng)的均質金屬材料制造，同時工業(yè)機器人多自由度、重復性工作等特點對結構提出較高的要求，傳統(tǒng)經驗設計以及實驗試件設計有成本高周期長、隨機性大等缺點，而結構有限元優(yōu)化設計方法能很好地解決這些問題。

1 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化現(xiàn)狀與發(fā)展

1.1 結構優(yōu)化設計概述

結構優(yōu)化設計技術是從20世紀70年代開始隨著計算機技術和有限元方法迅速發(fā)展起的一個力學分支。當下，通過將結構優(yōu)化理論、有限元法以及傳統(tǒng)力學分析結合為一個系統(tǒng)的計算流程，搭建起一套高效、可靠的結構優(yōu)化系統(tǒng)，能夠為用戶提供清晰明了的優(yōu)化設計思路，并在此基礎上可進行多響應類型的結構優(yōu)化設計方案的改善。結構優(yōu)化依據(jù)設計變量不同可劃分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化3類。目前，各類結構優(yōu)化理論已經相對完整并在各領域有所應用，特別是結構的拓撲優(yōu)化由于能設計出全新的結構造型從而被廣泛采用。如Ansys、Hyperwork和Tosca等業(yè)內著名的CAE分析軟件均已加入了拓撲優(yōu)化功能模塊；其中，Altair Hyperwork旗下Optistruct以及達索旗下的Abaqus是業(yè)內最著名的2款具備拓撲優(yōu)化設計模塊的軟件。

結構拓撲優(yōu)化在根據(jù)實際情況指定的設計區(qū)域內，被賦予各種的邊界約束、載荷響應以及其他工藝需要等要求下，能夠確定滿足工況需求的新結構拓撲構型，從而達到優(yōu)化設計中相對最優(yōu)的設計目的。在節(jié)約材料方面，結構拓撲優(yōu)化比尺寸和形狀優(yōu)化效果更顯著，在優(yōu)化算法理論體系已經逐漸成熟的現(xiàn)在，結構拓撲優(yōu)化在建筑領域已經大有建樹，在工業(yè)領域也已經取得一些成果，但應用于工業(yè)機器人結構設計方面并不多見。

結構拓撲優(yōu)化主要分為兩類：一類是離散結構的拓撲優(yōu)化[3]，用來確定并設計離散化的分析對象中各個獨立要素之間的連接形式、連接關系以及判斷要素的存在與否；第二類是連續(xù)體結構的拓撲優(yōu)化，大多數(shù)用來確定并設計均質連續(xù)體的空間構型，包括連接形式以及孔洞的形狀與位置等等。

結構拓撲優(yōu)化的研究最早可追溯到離散結構中的經典代表——桁架結構，其始于1904年由Michell桁架理論開始發(fā)展[4]，但不適用于多目標工況且對應變場的要求較為苛刻，只有在少數(shù)條件下才能進行，因此在工程上的實際應用受到限制。隨后，Schmit逐漸采用數(shù)學規(guī)劃法來求解轉換為數(shù)學規(guī)劃模型的結構優(yōu)化問題，這在結構優(yōu)化發(fā)展史上踏出了重要的一步[5]。在這之后結構優(yōu)化領域不斷涌現(xiàn)出新的研究成果，連續(xù)體的拓撲優(yōu)化方法發(fā)展迅猛，并不斷有新的理論出現(xiàn)并以用在實際工程上。

連續(xù)體結構拓撲優(yōu)理論主要分為材料插值模型以及數(shù)值求解方法這兩個研究方向。

1.2 連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化方法

以Bendse和Kikuchi所研究的均勻化方法為起始點[6]，如今連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法可根據(jù)設計變量是幾何狀態(tài)或材料性質而分為兩類。以幾何狀態(tài)為設計變量的拓撲優(yōu)化方法有變厚度法和泡泡法等，其中變厚度法較常用。以材料性質作為設計變量的方法是當下主流結構優(yōu)化方法的中心內容，較廣為人所用的主要是均勻化法以及變密度法，其將結構拓撲優(yōu)化問題為確定材料在設計空間中最優(yōu)分布的問題。除此之外還有水平集法、漸進結構法等較新的優(yōu)化方法。

變厚度法主要以單元厚度方向的尺寸為設計變量，并以計算后尺寸的大小作為優(yōu)化的最終結果。這種方法是以尺寸優(yōu)化理論為基礎而發(fā)展并推廣的，其理論本身決定了難以用于三維連續(xù)體結構的拓撲優(yōu)化。

泡泡法（Bubble method）是由Kobelev、Schumacher和Eschenauer于20世紀末提出的在結構形狀優(yōu)化基礎上進行拓撲優(yōu)化思想的改進方法[7]。主要思想是在設計區(qū)域內生成較合理的孔洞，再由尺寸優(yōu)化來確定它具體的形狀與尺寸，并運用特征函數(shù)來確定孔洞在設計空間內的具體位置。

均勻化法的拓撲優(yōu)化應用由Bendsoe和Kikuchi于1988年首次提出，其主要思想是將微結構單元引入設計空間的材料當中[8]，以其幾何尺寸以及空間的方位角作為設計變量并通過設計的準則來判斷單元是否保留；在連續(xù)體的結構拓撲優(yōu)化中以最小柔順度（即設計區(qū)域內最大剛度）為目標函數(shù)，以設計領域的體積為約束優(yōu)化設計模型，這標志著結構拓撲優(yōu)化進入一個全新的層次。之后，Suzuki和Kikucki等再度進行完善與概括[9]，Diaz和Ma推進特征值問題在拓撲優(yōu)化中的發(fā)展[10]，隨后Nishiwaki等在柔性機構的拓撲優(yōu)化設計中使用該方法[11]。均勻化法由于設計變量繁多且敏度計算復雜且優(yōu)化結果往往呈多孔洞結構，在實際生產中難以加工制造而逐漸被取締。

變密度法通過假定某種與各向同性材料屬性相關的密度由0～1變化的理想材料作為求解問題模型的基礎，再以有關密度的連續(xù)變量函數(shù)式來描述相互對應的關系。變密度法以每個單元密度作為各自唯一的設計變量，可以用于多種領域的優(yōu)化設計。變密度法主要數(shù)學模型有SIMP法[12]與RAMP[13]兩種。Bends?e 和Sigmund 證實了SIMP模型具備實際物理意義，Stople和Svanberg對于RAMP模型開展過詳細地論證[14]。變密度法通過選用合適的罰函數(shù)因子對設計變量的中間密度值進行懲罰，從而使結構的優(yōu)化模型能夠盡可能的只存在0和1兩種相對密度單元，也因此對結構剛度矩陣構成影響較小，不會對結構實際性能造成較大變化。由于該數(shù)學模型簡單，可程序化程度高且易實現(xiàn)，計算效率高，是目前最為常用的拓撲優(yōu)化計算的模型。

漸 進 結 構 法 （Evolutionary Structural optimization，ESO）對有限元劃分的具體單元進行編號，存在材料的為非0，反之為0；計算時不考慮沒有材料的單元性能并按照一定規(guī)則不斷刪去，以此最終獲得最優(yōu)的拓撲結構，其思路是對總剛度無較大貢獻或應力值小的單元材料進行刪除來實現(xiàn)。ESO方法起初應用于以強度、剛度、傳熱性能等為目標的連續(xù)體拓撲優(yōu)化設計中，之后不斷的有研究人員或學者對其進行研究，其中Achtziger等提出理論與傳統(tǒng)ESO方法相反的AESO方法[15]，其是通過在高應力區(qū)域不斷地添加材料來獲取新的拓撲結構，并進一步提出雙向漸進結構優(yōu)化方法（Bidirectional Evolutionary Structuraloptimization，BESO)。使用ESO方法對工業(yè)產品做優(yōu)化設計的應用與研究也不在少數(shù)，如孫圣權通過使用ESO方法對液壓機進行結構拓撲優(yōu)化[16]等。

水平集方法（Level Set Method，LSM）起初是外國學者Sethian和Osher研究曲線在用以曲率相關變化速率的演化來描述曲線演化過程的一種方法，Sethian等在2000年最早應用潛在的隱函數(shù)來描述結構的邊界輪廓作為結構拓撲優(yōu)化的方法[17]，該方法最大的優(yōu)點是能夠清晰地描述結優(yōu)化過程與結果的拓撲結構邊界輪廓；Michael等拓展了水平集拓撲優(yōu)化的方法，將結構的輪廓邊界用轉換為更高維函數(shù)中的水平集模型來進行描述[18]，但水平集方法從根本上是不斷地在求出Hamilton-Jacob微分方法的解，因而在過程總是要求解大量的Hamilton-Jacob矩陣，與其他拓撲優(yōu)化模型方法相比，計算過程要復雜很多。

除上述幾種類型外，還有獨立連續(xù)映射模型法（Independent-continuous Mapping，ICM）和拓撲導數(shù)法（TopologicalDerivative Method）等方法。綜上，伴隨著計算機數(shù)值計算技和基于有限元平臺的各種理論體系的迅猛發(fā)展，拓撲優(yōu)化技術不斷推陳出新，推動了結構設計領域的進程。

在上述方法中，因變密度法具備通用性強、求解方便、可移植性強等特點，被廣大商業(yè)性拓撲優(yōu)化軟件采用。

1.3 結構拓撲優(yōu)化的數(shù)值求解算法發(fā)展

在拓撲優(yōu)化的實際應用中要得到理想的結構，不僅對于其數(shù)學模型有著嚴格的要求，同時也需要采用合適高效的數(shù)值求解算法[19]，目前主要有兩類代表:一種是優(yōu)化準則法（OC），另一種為數(shù)學規(guī)劃法（MP）。

優(yōu)化準則法在結構拓撲優(yōu)化中主要指處于各種邊界、載荷等實際條件下，在確定的材料性能中尋求一系列設計方案中能滿足工況需求的最優(yōu)方案。在最開始的研究領域采用的求解算法是基于經驗的準則法，包括應力應變法和應變能法等等。優(yōu)化準則法在20世紀60年代發(fā)展起來的并一直到20世紀70年代，研究人員將K-T條件引入優(yōu)化準則算法中，把基于K-T條件下的數(shù)學最優(yōu)求解作為最優(yōu)結構應滿足的準則，并形成理性準則法。之后，Schmit初次將數(shù)學規(guī)劃法引入結構優(yōu)化中，其中的懲罰函數(shù)法和復合形法等是較多被采用的方法，其迭代通式為：

式中：xk是初始設計量（k是上角標，不是指數(shù)），Ck指的是著眼于每次迭代中滿足的優(yōu)化條件（Ck是滿足優(yōu)化條件的迭代公式所生成的一對角矩陣），xk+1是下一個改進的設計量。

優(yōu)化準則法沒有通用性，一般分為3種:離散性優(yōu)化準則法、連續(xù)型優(yōu)化準則法和離散連續(xù)型優(yōu)化準則法。優(yōu)化準則法作為一種行之有效的求解拓撲優(yōu)化的方法，有著收斂速度快，計算效率高、代價小，易于在工程中實現(xiàn)的特點；然而也有著沒有通用性，并且對于變量辨識分為主動或者被動，對約束要確定有效或無效，目標函數(shù)使用方位小，一般得到局部優(yōu)化效果的缺點。

數(shù)學規(guī)劃法是采用數(shù)學理論方法和分析方法確定迭代的最速下降方法和最優(yōu)極值點，數(shù)學規(guī)劃法的數(shù)學理論嚴謹，相對而言在實際工程問題中容易得到優(yōu)化結構圖。Schmit在20世紀50年代首次將數(shù)學規(guī)劃法應用到結構優(yōu)化中，其基本思想是從初始點xi出發(fā)，通過對結構數(shù)學模型的計算，按照最速方向通過上一個迭代步構建下一個迭代步，之后對xi+1再次進行分析確定下一個迭代步，不斷循環(huán)直到達到收斂條件。其中的關鍵點就是知道目標函數(shù)下降且滿足約束的搜索方向dt，并且要確定沿著搜索方向dt前進的步長ai，從而得到新的設計點，計算如下[20]:

表1 幾類主要的拓撲優(yōu)化方法比較

除了以上兩類具有代表性的方法外，遺傳算法在拓撲優(yōu)化中也開始得到應用。遺傳算法是依據(jù)達爾文的進化理論的哲學思想發(fā)展起來的，包括再生、交叉和異化3個過程。遺傳算法是按照獲得最大效益的原則進行隨機搜索的，因此并不能保證每一次進化會優(yōu)于上一次的進化，但是其總趨勢是不斷地理想化的。遺傳算法在優(yōu)化過程中不需要函數(shù)的單調性和連續(xù)性，但是分析次數(shù)極多、收斂速度極慢，一般用于設計變量少的結構優(yōu)化問題。段學超等人就基于遺傳算法對并聯(lián)機器人進行結構優(yōu)化設計等[21]。

2 結構拓撲優(yōu)化的機器人輕量化應用。

隨著理論體系的飛速發(fā)展，不少國際機器人廠家已經開始研制輕量化工業(yè)機器人，希望通過結構優(yōu)化以及整體高協(xié)作性來取代笨重的重負載工業(yè)機器人，比如Universal Robots發(fā)布的UR 5和UR 10機器人。基于結構優(yōu)化理論的工業(yè)機器人輕量化研究成果不斷出現(xiàn)。

Albert Albers等[22]以ARMAR III型機器人為研究對象，綜合考慮機器人機電系統(tǒng)中的結構和控制，對其手臂進行了拓撲優(yōu)化設計，如圖1所示，裝配后效果如圖2所示，優(yōu)化取得了良好的效果。

圖1 優(yōu)化前后結構比對

圖2 優(yōu)化后模型的實際裝配效果

Ganesh S.Hegde等[23]采用離散的拓撲優(yōu)化對機器人連桿進行優(yōu)化，將最小柔度、質量下降作為目標函數(shù)，將彈性位移、速度，實現(xiàn)了初步的優(yōu)化目標。

Frecker等[24]采用均勻化拓撲優(yōu)化方法對微夾機構進行優(yōu)化，并通過基結構法對三位柔性體的機構進行研究設計。

A.Kaveh等[25]將蟻群優(yōu)化（ACO，Ant Colony Optimization）和有限元分析結合使用在二維和三維結構的拓撲優(yōu)化設計上，將尋找食物最短路徑的螞蟻比喻為拓撲優(yōu)化的微結構，在此方法中拓撲優(yōu)化不受離散問題的限制，并取得良好的效果。

與此同時，國內相關研究人員也紛紛探索結構優(yōu)化方法在工業(yè)機器人輕量化中的應用。

宋浩等[26]對SR3-600型焊接機器人進行靜力學動力學分析和拓撲優(yōu)化，以提高其負載-自重比，為相關機器人的設計提供理論依據(jù)。

徐稀文、平雪良等[27]進行基于有限元法的弧焊機器人結構分析，減小最大變形位移值以及最大等效應力值，并驗證拓撲結構優(yōu)化的機械臂的可靠性。

管貽生等[28]以Adams和Ansys為平臺，對某搬運機器人進行拓撲優(yōu)化與尺寸優(yōu)化，優(yōu)化后的機器人在整機質量只增加6%的情況下，絕對靜態(tài)變形降低78.1%，第一階固有頻率提高49.6%。

寧波大學張剛[29]以MOTOMAN-HP20D串聯(lián)型機器人為例，對其動力學特性及機械臂優(yōu)化設計進行研究，探討動態(tài)下機器人機械臂的拓撲優(yōu)化方法，在滿足機器人性能的前提下，得到質量更輕的機械臂結構。優(yōu)化前后對比如圖3所示。

圖3 優(yōu)化前后結構比對

西安建筑科技大學高君濤[30]以ANSYS軟件APDL命令流對工業(yè)碼垛機器人大臂進行建模及結構拓撲優(yōu)化分析，獲得兩種不同的工況下的拓撲優(yōu)化云圖，為形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化提供最優(yōu)的材料分布和設計方案。

南京理工大學汪俊[31]對換擋機械手進行結構拓撲優(yōu)化，降低駕駛機器人的質量，提高一階固有頻率，增強駕駛機器人的抗振能力。

大連理工大學張傳思等[32]進行硅片傳輸機器人手臂的拓撲優(yōu)化設計，針對硅片傳輸機器人手臂快速運動容易產生機構本體振動的問題，對機器人手臂機構進行拓撲優(yōu)化設計，得到剛度增加的手臂結構。

大連理工大學白云飛[33]使用變密度法對基座、大臂、小臂進行拓撲優(yōu)化設計，利用Hyperworks軟件進行分析，效果良好。

天津大學維加[34]基于ABAQUS和TOSCA軟件對噴涂機器人主要部件進行結構拓撲優(yōu)化方法。首先利用ABAQUS軟件對噴涂機器人的大臂、底座以及腰部進行有限元分析，再采用TOSCA軟件進行結構拓撲優(yōu)化，進一步減輕大臂的質量，仿真計算表明在質量不變的情況下實現(xiàn)了剛度的明顯提高。

哈爾濱工業(yè)大學占閣[35]針對10 kg弧焊機器人進行研究，首先利用ADAMS對機器人進行動力學分析，求取最惡劣工況時的位姿，在該位姿處對關鍵零件進行有限元分析。隨后采用拓撲優(yōu)化的方法對機器人的大臂結構進行輕量化設計，優(yōu)化拓撲如圖4所示，大臂通過拓撲優(yōu)化在輕量化的同時提高了剛度。

圖4 大臂拓撲優(yōu)化圖

北京交通大學王陽[36]則以輕型機械臂為研究對象，對機械臂進行結構分析和設計，并在結構分析的基礎上對機械臂進行拓撲優(yōu)化設計。

廣東工業(yè)大學黃宇涵[37]以諾爾貝公司的一臺六自由度高速輕載焊接機器人為例，運用等效靜態(tài)載荷方法，將動態(tài)載荷轉化為等效靜態(tài)載荷，實現(xiàn)機器人動態(tài)載荷作用下的拓撲結構優(yōu)化設計，并對比了同時優(yōu)化和單個優(yōu)化組裝兩種情況，優(yōu)化形狀分別如圖5所示，并認為同時優(yōu)化比單個優(yōu)化效果更佳。

從上述研究可知，結構拓撲優(yōu)化方法是一種進行機器人輕量化設計的有效方法，目前已經在各類機器人輕量化中得到廣泛應用，但是目前優(yōu)化算法還比較單一，優(yōu)化工具尚不成熟，可以預見隨著拓撲優(yōu)化理論的成熟，未來結構拓撲優(yōu)化將成為機器人輕量化的重要研究方向。

3 小結

從目前的研究來看，拓撲結構優(yōu)化方法已經引起了大家的重視，并在機器人輕量化中得到一定的應用，但是目前存在一定的局限性：首先，目前大部分研究都是采用有限元分析工具直接進行優(yōu)化，且大部分有限元優(yōu)化分析采用的模型是變密度法的模型，靈活性不夠且未能發(fā)揮其他算法的優(yōu)勢；其次，對于拓撲優(yōu)化后的產品如何進行改進定型目前全憑經驗，缺乏有效的理論指導，使優(yōu)化效果打了折扣；最后，目前機器人拓撲優(yōu)化的研究還多停留在理論設計與仿真實驗驗算，少有采用拓撲優(yōu)化的機器人產業(yè)化。

圖5 兩種拓撲優(yōu)化方法對比圖

圍繞機器人輕量化拓撲優(yōu)化研究可以從如下幾個方面入手，首先考慮基于有限元軟件的二次開發(fā)，靈活設置優(yōu)化模型及參數(shù)，探索不同拓撲優(yōu)化模型對不同機器人優(yōu)化效果的影響，提高結構優(yōu)化效果；其次，研究拓撲優(yōu)化結構改進方法，建立理論與經驗相結合的結構改進方法與模型，提高結構優(yōu)化可行性；最后，結合產業(yè)實際展開深入研究，對現(xiàn)有的國產機器人結構進行拓撲優(yōu)化輕量化研究，推動國產機器人輕量化技術發(fā)展及產業(yè)化進程。