諧波齒輪減速器雙圓弧齒形的設計*

余 寧，阮 毅，麥麗菊

（廣東省機械研究所，廣東廣州 510635）

0 引言

諧波齒輪傳動裝置具有體積小、承載能力大、傳動精度高等優點，被廣泛應用于航空航天、機器人等諸多領域。雙圓弧齒廓同普通的齒形相比，不僅可以增加齒輪的嚙合對數，而且還可以有效地改善普通齒輪嚙合時易產生尖點和干涉的情況，從而進一步提高諧波傳動裝置的嚙合性能［1-3］。本文作者以雙圓弧齒廓諧波傳動為研究對象，對諧波傳動裝置中的柔輪結構進行設計，并且利用MATLAB軟件對與之嚙合的剛輪的齒形進行設計[4]。

1 柔輪齒形設計

以設計減速比為i=80，模數m=0.3，輸入轉矩為72 N·m的諧波減速器為例，求解諧波減速器的柔輪和剛輪齒形參數。由諧波減速器傳動比的公式可得，柔輪齒數為Z1=160，剛輪齒數為Z2=162。

1.1 齒高和嚙合深度

根據嚙合情況，柔輪理論齒高h=2m與標準漸開線圓柱齒輪相同，但其嚙合深度卻不同，其嚙合深度hd1為(1 . 2～1.3) m。柔輪與剛輪全齒高不等于嚙合深度，因此柔輪的全齒高可在一定范圍波動，同時齒根高hf可比齒頂高ha略大，以預留嚙合間隙Ca及增大齒根彎曲強度[5]。最后雙圓弧諧波齒輪柔輪全齒高可初定為(1.8～2.2)m，柔輪齒頂高 ha可以取為(0.7～1.0)m，齒根高hf為(1.1～1.5)m，齒頂間隙Ca為(0.2～0.35)m。

1.2 嚙合角

在雙圓弧齒廓中，柔輪與剛輪的相對運動軌跡不受齒廓形式的影響，壓力角的大小只影響齒輪的受力情況和齒輪強度，因此根據諧波傳動的特點，諧波傳動圓弧齒廓的壓力角α0一般取25°。

1.3 齒廓圓弧半徑差

齒廓圓弧半徑差Δρ會影響傳動靈敏度，數值應根據齒輪的制造及裝配精度還有齒輪模數來確定。若半徑差Δρ太小，則會靈敏反應各個位置的變化，使誤差變大；若Δρ太大，則會導致齒輪跑和緩慢。對于小模數的軟齒面雙圓弧齒輪，齒廓圓弧半徑差Δρ常取[6]：

1.4 齒厚比

齒厚比K是節圓上齒槽寬度Sf與齒厚Sa的比值，即K=Sf/Sa。齒厚比的大小主要影響雙圓弧輪齒的彎曲強度，根據經驗一般取K為1.1～1.3。

1.5 柔輪齒廓圓弧半徑

在壓力角不變的情況下，齒廓圓弧半徑ρ減小，力的作用點離危險截面更近，齒根彎曲疲勞強度增強；反之，齒面接觸疲勞強度提高。因而對于軟齒面雙圓弧齒輪，通常取柔輪凸齒廓圓弧半徑 ρa=（1.15～1.5）m。而柔輪凸齒廓圓弧半徑ρf根據齒廓圓弧半徑差Δρ與ρa關系取值。

根據上述參數選擇原則，確定本設計柔輪齒廓參數如表1所示。

表1 柔輪輪齒齒廓參數

1.6 非齒廓參數

由于柔輪的非齒廓參數并不是設計的重點，所以直接給出其參數值如表2所示。

表2 柔輪非齒廓尺寸參數

圖1 柔輪齒廓參數

計算得出柔輪凸齒圓心偏移量Xa和la：

根據兩圓心連線交于點B，得凹齒圓心偏移量：

2 共軛剛輪齒廓設計

共軛剛輪齒廓參數主要通過分析柔輪變形情況，得出變形量的變化函數式，之后運用包絡法得到參數間的變量關系，最后采用數值法解變量方程組得到[7-9]。

2.1 齒廓分析的前提假設

諧波傳動的兩個定律如下：

（1）諧波傳動的轉速比只與相互運動的兩條特征曲線的周長有關，而與其形狀無關。

（2）共軛齒廓在嚙合過程中的運動情況是由所選用的齒形和運動時的特征曲線共同決定的。

諧波齒輪傳動計算中的幾點假設如下：

（1）剛輪和柔輪兩共軛特征曲線SR和SG，在波發生器裝入柔輪后發生變形，但柔輪特征曲線總周長不變，即變形前后SR周長不變，只是形狀發生變化。

（2）假設傳動過程中齒形不發生變化，但是齒槽中部發生變化。

（3）假設中線呈規律性變化。

（4）柔輪每個輪齒的對稱線都與特征曲線SR的切線相垂直，而且每個輪齒所對應的特征曲線SR的弧長都對應相等。

在上述假設的基礎上，將輪齒去除后的柔輪、剛輪的曲線分別成為柔輪、剛輪的特征曲線SR、SG，如圖2所示。

圖2 諧波傳動柔輪與剛輪特征曲線嚙合示意圖

2.2 柔輪與剛輪共軛過程理論分析

2.2.1 建立坐標系

為了說明柔輪與剛輪的共軛過程，建立描繪柔輪特征曲線SR的極坐標SR(ρR,φR)、描繪剛輪特征曲線SG的極坐標SG(ρG,φG)、描繪共軛齒廓的3個直角坐標系CR(xR,yR)、CG(xG,yG)、C0(x0,y0)。并設定這些坐標系初始位置是極軸ρR(0)、 ρG(0)，縱坐標yR、yG、y0全部重合，如圖3所示。

圖3 坐標系示意圖

（1）極坐標SR(ρR,φR)：坐標原點為柔輪特征曲線SR的中心，即波發生器的回轉中心上，極軸為ρR波發生器的長軸。

（2）極坐標SG(ρG,φG)：坐標原點為柔輪特征曲線SG的中心，即剛輪的回轉中心，極軸ρG為縱線（鉛垂線）。

（3）直角坐標系CR(xR,yR)：坐標原點定于柔輪特征曲線上，縱軸yR是柔輪輪齒齒廓的對稱線，其坐標原點是輪齒的對稱線與特征曲線的交點。

（4）直角坐標系CG(xG,yG)：坐標原點定于剛輪特征曲線上，縱軸是剛輪輪齒齒廓對稱線，坐標原點與諧波傳動裝置的回轉中心重合。

（5）直角坐標系C0(x0,y0)：固定基礎坐標系，縱軸為鉛垂線，原點與諧波傳動裝置的回轉中心重合。

2.2.2 建立微分方程組

將柔輪齒廓轉化為極坐標方程：

式中：R1為柔輪齒廓圓弧半徑 ρa，xc1為橫坐標偏移量-la，yc1為縱坐標偏移量Xa，θ1為柔輪凸齒廓半徑所對應的角度。

剛輪特征曲線方程SG：ρG=rG

柔輪特征曲線方程SR： ρR=rR+ω0cos2φ

式中：φ為柔輪非變形端的轉角，ω0為柔輪徑向變形量系數，rG和rR為剛輪和柔輪的半徑。

使用包絡法求剛輪齒廓，各參數表達式如下：

柔輪特征曲線SR對應弧長的中心角：

剛輪特征曲線SG對應弧長的中心角：

剛輪固定時，相應特征曲線SR、SG對應弧對應的中心角之差：

剛輪固定時，相應CR、CG兩坐標夾角：

式中，μ為柔輪對稱軸線相對于徑矢轉過的角度，ω為柔輪的徑向變形量。

由變換矩陣得：

最終得到：

式中φ與參數θ間的關系以隱函數的方式給出，它們的關系不能用初等函數表達，求解剛輪理論齒廓需要采用數值法。

2.3 剛輪齒廓求解

由于剛輪齒廓變量中φ與θ只能用數值法求解，計算過程單一但計算量大，因而使用Matlab編程計算，該程序也可作為通用的剛輪共軛齒廓求解程序。

數值法求解流程如下：

（1）設定θ的范圍，將其離散化成N個點，每個點都有一個對應的解；

（2）當θ為第n個點時，根據包絡方程關系式，運用二分法不斷縮小解的范圍；

（3）當解的范圍小于設定范圍后，認為該范圍中點值即為該次θ的解；

（4）重復上述步驟得到一系列的θ解；

（5）最后根據θ與其他變量的關系得到剛輪齒廓參數。

由上述剛輪共軛齒廓求解，編寫MATLAB程序，并將數據代入程序中，得到剛輪雙圓弧齒廓中兩個圓弧曲線的圓心和半徑參數，用數值法得到的一系列的數據點通過擬合得到的效果圖如圖4所示。由圖4可以看出，采用該方法獲得的剛輪齒廓曲線連續性非常好。

圓弧1圓心和半徑（單位：mm）：

圓弧2圓心和半徑（單位：mm）：

Xc=1.067 9 Yc=37.171 0 Rc=0.762 8

圖4 剛輪齒廓曲線擬合圖

3 結論

分析雙圓弧齒在諧波傳動中嚙合時的優越性，對柔輪的特征曲線求解，得到其特征曲線的方程。在確定柔輪齒形的基礎上，通過建立坐標系，根據共扼原理，進行坐標變換，求出與柔輪齒相嚙合的剛輪齒的方程。通過MATLAB軟件進行編程，在將原始數據輸入到程序中，求解出剛輪齒形上的點，然后進行擬合，最后得出相應的剛輪齒廓曲線。