復變函數課程的教學改革與實踐

◎陳　莉　王　鵬

(五邑大學數學與計算科學學院，廣東　江門　529020)

復變函數是許多工科院校工科專業的必修課程，立足于解決實際工程問題，對其建立模型、求解模型并最終解決問題.由于復變函數是數字信號處理、控制論、高等物理等課程的基本數學工具，因此，其直接目標是幫助學生掌握必要的數學知識和工具，為后續專業基礎課和專業課做準備.一方面，復變函數是初等微積分的繼續學習，另一方面，其研究對象是初等微積分從實數域到復數域的推廣.盡管兩門課程在學習上具有一定的相似性，但由于復變函數課時相對較少，內容具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性，本身包含了大量的概念和定理及計算方法，這無疑給復變函數的教學帶來一定阻礙.傳統的教學模式，學生對于復變函數的理論背景與應用都停留在教材與習題，很難開闊學生的眼界，同樣很難建立起學生對知識的興趣，而高等教育階段除了獲取專業知識，更加重要的是對于專業知識的應用、思維的創新和能力的鍛煉，因此，如何合理安排課時講授知識、如何增強教學效果、如何提高學生的興趣，已成為亟待解決的問題[1][2].針對復變函數課程的這些特點，我們可從以下幾個方面進行改革.

一、提高教師的專業素養，認真組織教學過程

1.教學過程中，學生是主體，教師是主導，在教學的過程中會遇到各種難點與重點，有些要求不高容易理解與解釋，有些則難講解[2][3].而對同樣的一個問題，不同的教師表達的方式不同，但有一點是肯定的，就是基礎越扎實的教師能夠想出的解釋方式更完美，更加能夠用簡潔的語言清晰地解釋學生存在的問題，只有專業基礎扎實的教師在宏觀上，才能更好地把握整個教學過程中的知識結構，才能夠邏輯嚴密，順其自然地把知識傳送到學生的大腦里，在微觀上才能夠更加敏銳的察覺學生容易忽略并且容易出錯的知識點，對于較難理解的問題，能夠找到一種相對淺顯的辦法去解釋該問題.因此，復變函數課程組的教師可以通過積極開展教學研討活動，強化教學過程設計，交流教學方法等多種途徑提高自己的業務能力和素養，改變教學觀念，增強教改創新意識[4][5].

2.課程的引入

第一節課應該先向學生簡單介紹，復變函數理論在物理空氣動力學，流體力學，彈性力學，自動控制學，信號處理，電子工程技術等領域的應用.抓住學生的好奇心，使他們產生學習該課程的興趣，激發其學習的積極性.然后介紹復變函數的主要研究對象跟高等數學之間的區別與聯系，自始至終都可采用比較的教學方法，找尋其共性并區分差異性，認真區別二者的本質.學習函數的連續性，可導性，可微性和可積性時，學生對照二元函數的一系列性質，可以自己總結，以培養學生的自信心.

3.完善學生的知識儲備，為該課程打好基礎

復變函數這門課程的主要任務就是研究復數領域內的變量之間的相互依賴關系，學生在學習工程數學復變函數這門課程的過程中，普遍感到概念抽象、計算煩瑣、思維難于開展，問題難以入手.其主要原因在于基礎知識的儲備不夠，這就需要任課教師結合本專業實際，上新課之前，先簡明扼要地復習一下相關知識，這樣可以起到事半功倍的效果.比如，第一章的復數及其復變函數，第二章的解析函數，這兩章是本課程的基礎，學習效果的好壞，直接影響著本課程的教學效果，對后續內容的學習積極性更是有著重要影響.這兩章里都多次用到三角函數的積化和差和和差化積公式，倍角公式，半角公式和反三角函數的一些知識.這些知識在高中階段學生都學過了，但是因為不要求記憶，很多學生到用時根本想不起來.這就需要教師在授課前提醒學生們復習相關知識，掃除學習障礙，提高學習效果.另外，復變函數中的許多概念、理論和方法，都是高等數學中的實變函數在復數領域內的推廣和發展，因而，它們之間有許多相似之處，如果學生對高等數學的相關知識理解得很深刻，那么復變函數里的這些概念就會輕松許多，因此，這些知識就需要教師帶領學生先來復習，以應用到以后本課程的學習中.

二、修訂教學大綱，優化教學內容

工科復變函數課程包含了多方面的知識的綜合應用，如高等數學、高等幾何、物理等，而且知識點多.作為工科專業，不可能把所有主要內容都包羅無遺的吸收.根據工科專業的特點在學時減少的情況下，為有效地完成教學任務，首先必須對內容進行合理安排，教學大綱把各章節的內容的要求分成三類：掌握、理解和了解.掌握的內容要重點講述，理解和了解的內容，可以要求學生自學.這樣可以做到主次分明、重點突出，還可以培養學生的自學能力.從教材的整體結構分析，柯西的積分理論，級數理論和幾何理論，是該課程學習的基礎，在學時分配上應予以一定的傾斜.而解析延拓和調和函數可以減少課時分配，作為自學內容加以理解，用較少學時，把最基本的概念和方法講清楚，避免繁雜冗長的數學推理，以免讓學生產生厭煩心理而不再認真學習.把握好各個階段的重點內容，注意重點講解概念方法的實例，增強學生運用知識的能力.這也符合工科專業學生的認知特點和思維順序，學生易懂易會，因此，必要的數學基礎理論是必須掌握的，但關鍵在于能以清晰的思路，將相關數學知識靈活應用于實際問題.教師不要追求面面俱到，要注意留給學生思考的空間，啟發學生認真思考，促使學生養成思考的習慣，對于一些在能力范圍內，重要但是難度不大的內容，可以讓學生自己組織材料學習.

三、改革教學方法和教學手段，提高教學效果

靈活多樣的教學方法，首先激發學生的學習積極性，教學活動中注重學生的主體意識，尋找適當的切入點.通過指出本課程的理論和方法，在工程技術領域的實際應用，使學生懂得該課程的重要性，激發學生的學習積極性.如解析函數在平面場問題中的應用，共形映射在電場分布中的應用.其次，加強教學的良性互動，強化教師的主導作用，以教師為主導，學生為主體，以學為主，教服務于學，啟發于學，教學互動.最后，理論與應用并重，提高學生學習的主觀能動性.講述復變函數的一些理論時，結合實際問題，使學生感受到課程的具體應用，認識到這些理論知識的實用性.如講授柯西積分公式時可讓學生思考如何測得地心溫度的問題，如果能測得地表各點的溫度，則可以利用柯西積分公式，求出地心的溫度；講共形映射時指出，許多地質測量工程的工程技術人員利用該原理來處理一些不規則圖形等.

四、傳統教學手段與多媒體相結合

傳統教學手段的基礎上采用多媒體輔助教學，將傳統講授的優點和多媒體教學的長處有機結合，實現優勢互補，提高教學水平.上課過程中，具體的數學推導過程采用板書，而理論敘述和實際應用則采用多媒體，動靜結合，教學效果大為提高.各章節習題課，是教師針對重難點知識點和學生作業的薄弱環節，對學生掌握不太熟練或者學習效果不好的知識點的總結、深化.因此，通過習題課教師可以總結某一類問題的解法，從而可以加深學生綜合解決問題的能力，某些跨章節的知識點可以通過習題課系統的歸納出來，讓學生明白相關知識點之間的聯系和區別，從而更好地掌握這些知識點.然而，如前所述，在復變函數學時有限的情況下，合理利用微課有助于解決習題課和學時有限之間的矛盾.我們可以將習題制作成微課視頻，充分運用網絡教學平臺，讓學生通過在線觀看微課，幫助學生理解課堂上的難點，總結每個章節的重點.通過習題微課視頻不僅能夠鞏固所學習的知識點而且可以發現自己在課堂學習的不足，從而將傳統教學手段與現代多媒體相結合，大大提升教學效果.

五、“重應用，弱理論”改革考核形式——實行以實踐能力為導向的課程考核改革

目前，復變函數課程普遍采用的考試方式都是注重理論推導、手工計算和證明.這種考核方式與現代信息社會嚴重脫節，在新的授課機制下，由于重點突出學生的動手能力以及復變函數和工科專業知識的結合能力，弱化了數學的計算、推導和證明，這就使得傳統的課程考核方式已經不能適合課程考核需求，要求我們對課程的考核方式進行改革.我們可以采用與專業對口的方式，在課程合理的知識點范圍內，將專業學院的基礎知識融入復變函數知識中，讓學生通過Matlab軟件編程解決相應的問題.比如，讓學生在Matlab中通過奇異值分解的方式實現圖像的壓縮效果.能和自己的專業知識相結合，將大大地激發學生對復變函數的學習興趣，靈活的考核方式可以檢驗學生靈活運用所學知識的能力.

復變函數的教學改革還在不斷地思考與探索中，它的方法內容，評價方式，以及與現代科學技術的聯系與應用都需要進行長久的思考與改變，希望借助復變函數的教學，帶動其他相關學科的發展，為我國培養更多的應用型人才.

六、結　論

本文主要論述了復變函數的教學改革，從課堂知識點的引入、重點內容的講解、多媒體輔助教學以及考核方式等方面，對該課程的改革進行了深入詳細的思考，對從事復變函數課程教學的教師具有一定的借鑒意義.