多角度去解一道求最值的問題

河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 趙昱辰

題目：已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且a2+b2+c2=1，求a的最大值。

一、基本不等式的角度

解法1：由a+b+c=0得a=-（b+c），將該式子兩邊同時平方得：b2+c2+2bc=a2①，將①式代入a2+b2+c2=1中得：2bc=2a2-1，對于實數(shù)b、c，滿足b2+c2≥2bc，即1-a2≥2bc=2a2-1，解得

解 法2： 將a+b+c=0平 方 得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0，由a2+b2+c2=1得：1+2ab+2bc+2ac=0， 將c=-（b+a） 代 入 整理并化簡消元 得：2a2-1=-2b（a+b）， 由 于 -2b（a+b）=2[-b當(dāng)a=-2b=-2c時，等號成立），即2a2故a的最大值為

二、方程的角度

解法3：由a+b+c=0可知c=-（b+a），代入a2+b2+c2=1，整理化簡消去c得方程：2b2+2ab+2a2-1=0，該方程可以看作是關(guān)于b的一元二次方程，該方程有根，由判別式解得

解法4：由a+b+c=0，移項得：b+c=-a，代入a2+b2+c2=1得：，繼續(xù)變形整理為：，由韋達定理知，有兩根，滿足判別式故a的最大值為

三、三角函數(shù)的角度

解法5：由a2+b2+c2=1變形得：b2+c2=1-a2，由同名三角函數(shù)關(guān)系式可知，

四、向量的角度

解法6：對a+b+c=0變形得：b+c=-a，設(shè)向量根據(jù)向量的運算性質(zhì)

五、幾何的角度

解法7：用x、y取代b、c，即x+y+a=0，x2+y2=1-a2，可知點（x,y）既在直線x+y+a=0上，又在圓x2+y2=1-a2上，可以說明，直線和圓有公共點，從直線與圓的位置關(guān)系來看，直線與圓相切或相交，即圓心O到直線的距離d不大于圓的半徑，所以d≤r。因此故a的最大值

【心得體會】

1.以上幾種解法各有千秋，該題題干短小，但其中蘊涵的知識卻可以進行多角度、多層級的挖掘，筆者最大的感悟是對題目進行不同的轉(zhuǎn)化和巧妙的變形是解決此題的關(guān)鍵，這7種解題方法近乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)大部分的解題思想，其中，函數(shù)與方程的思想運用其中，使得思維的層次性和深刻性更勝一籌，而后幾種方法是通過將純代數(shù)問題過渡到了幾何問題中來，是把抽象思維與形象思維有機地聯(lián)系起來，使思路與解法順理成章，水到渠成，清晰明了。此外，根據(jù)題設(shè)條件形式的特殊性，借花獻佛，將向量、解三角形、空間幾何等獨特思維方式引入其中，這種返璞歸真的處理方式值得我們借鑒學(xué)習(xí)。

2.該題雖然解題方法很多，但是每一種方法所采用的都是常規(guī)性知識點，從不同角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力所在，其中，基本不等式和向量起到了工具性的作用，值得提倡。此外，通過此題多角度求解，我們能從中學(xué)到轉(zhuǎn)換策略、函數(shù)與方程的精髓，從而得出一樣的結(jié)論，可以加深我們對教材和知識的理解,同時提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣。

（指導(dǎo)老師：毋曉迪）

[1]劉永生．?dāng)?shù)學(xué)競賽與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展[D]．華中師范大學(xué)，2004．