達成課標要求是一節好課的必要條件
——滬科版《一次函數與二元一次方程》為例談教學目標的制定

安徽省安慶師范大學數學與計算科學學院 范立剛

一、教學片段

師：前面我們研究了一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的關系。這節課我們繼續研究一次函數與二元一次方程的關系。

教師多媒體課件出示：方程3x+2y=6的解有多少個？你能畫出以這個方程的解為坐標的所有點組成的圖形嗎？

……

（接下來教師大約用5分鐘左右的時間引導學生得出了如下結論，具體過程略）

教師多媒體課件出示：

教師多媒體課件出示并讀題：

（1）在一個直角坐標系內，畫出方程x+2y=2的圖象l1與方程2x-y=-6的圖象l2。

（2）如果直線l1與直線l2相交于點P，寫出點P的坐標。

（3）檢驗點P的坐標是不是方程組

（學生作圖，教師巡回指導，要求作圖精確）師：它們是否交于一點？

生（眾）：是。

師：這個點的坐標是多少？

生（眾）：（-2,2）。

生（眾）：是。

師：為什么呢？

生4：直線l1是方程x+2y=2的圖象，因此直線上任意一點的坐標都是方程的解；同理，直線l2上任意一點都是方程2x-y=-6的解。所以直線l1與l2的交點P的坐標是方程x+2y=2與2x-y=-6的公共解，也就是說，是二元一次方程組

（教師多媒體課件展示作圖結果,課件略）

師：這種利用圖象解方程組的方法就叫作圖象解法，下面哪位同學能總結出圖象解法的步驟？

生5，生6兩名學生總結，最后教師板書：

圖象法解方程組的步驟：

（1）先轉化（師口述“即分別將兩個方程化成一次函數的標準形式”）。

（2）再畫圖（師口述“即用描點法在同一個坐標系中畫出兩個方程的圖象”）。

（3）定交點（師口述“即確定出交點坐標”）。

（4）確定解（師口述“即根據交點坐標解出方程組的解”）。

師：請××同學到黑板上來完成，其他同學在練習本上完成（用時4分鐘）。

師：請同學們看黑板上這位同學的解答過程，有沒有什么問題？

生7：（搶答）他沒按要求先將兩個方程化成標準形式。

生8：他畫的兩條直線沒有準確地在（0，1）點上相交，他作圖不規范。

師：這兩位學生觀察得都很仔細，希望同學今后再用圖象法求解二元一次方程組時，一定要按黑板上的步驟完成，作圖時描點要仔細，保證作圖精度。

（此時，生9主動舉手示意，師：你有什么問題嗎？）

生9：老師，我有辦法保證作圖精確。

師：嗯！你怎么保證？

生9：我先用以前學過的解方程組的方法，把方程組的解求出來，再把這個點描在坐標系中，這樣就能保證兩條直線一定相交在這個點上了。

師：咦，這個小技巧好不好呀？

生（眾）：好。

師：對，如果考試時真的出現類似的題，同學們不妨用這個方法，這樣做既省時又準確。

……

（接下來教師通過兩個例題，花去大約10分鐘時間引導學生總結出從二元一次方程組中兩方程未知數的系數關系判斷方程組解的個數的方法，另花去大約3分鐘總結）

二、課例分析

本節課的優點還是很多的，比如教師以環環相扣的問題串，引導學生動手操作、動腦思考，課堂氣氛活躍，學生參與度高，45分鐘內，共有18名學生回答了教師的問題，幾乎所有學生都掌握了用圖象法解二元一次方程組，能根據方程系數的關系判斷方程組解的存在情況。總體上看基本達到了教師所確定的教學目標，這樣的觀點得到了大部分觀摩學員和陪同領導的認可，一致認為這是一節好課。盡管衡量一節好課的標準是多元的，但筆者認為，無論教師的教學方式如何轉變，無論教師的教學理念如何新穎，無論學生的主體地位如何突出，其最終目的都是要達成《義務教育數學課程標準（修訂稿）》（以下簡稱《標準》）所規定的教學目標。這就要求教師要科學使用教材，不被教材所束縛，真正做到“用教材教”而不是“教教材”。下面談談本人對這節課的幾點拙見。

授課教師對本節課教學目標及教學重點、難點的制定（錄自教師的教案）為：

教學目標：學會用函數圖象來解二元一次方程組。會根據方程組中未知數系數的關系來判斷方程組解的個數。

教學重點：用圖象法解二元一次方程組。

教學難點：歸納用圖象法解二元一次方程組的具體步驟。

在教學過程中，授課教師花了大量的時間，引導學生學習“圖象法”解二元一次方程組，并總結此方法的解題步驟以及“根據兩方程系數的關系來判斷方程組解的個數”的公式。從教師所制定的教學目標來看，他這樣做是情理之中的事，從教學效果看，基本實現了課前制定的教學目標。

但筆者認為這節課在教學目標制定、教學重點和難點的確定上，還是有商榷之處的。

首先，《標準》對這部分的要求是：“體會一次函數與二元一次方程的關系”；“教材的整體設計要呈現不同數學知識之間的關聯。……例如，在“數與代數”的領域內，函數、方程、 不等式之間均存在著實質性聯系……。幫助學生理解類似的實質性聯系，是數學教學的重要任務。”

其次，教材編著者對這部分內容的解讀為：“課標在一次函數標題下，有一條要求：‘體會一次函數與二元一次方程的關系 ’。課本根據這個精神，在能把二元一次方程轉化為一次函數這個前提下，建立二元一次方程與直線的對應，提前滲透解析幾何思想。……因此，課本在講一次函數與二元一次方程組的關系時，主要是以圖形為背景，讓學生直觀體會二元一次方程組解的三種可能，而不在于求出解。”

通過對《標準》、教材編者、授課教師三方觀點的對比，筆者認為授課教師所制定的教學目標距離《標準》的要求還是存在一定偏差的。用“圖象法”解二元一次方程組只是讓學生體會“一次函數與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關系”的一個手段，而“體會一次函數與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關系”才是本節課的目標。教學目標是教學的出發點和歸宿，它決定著教學方法的選擇、教學內容的組織、教學過程的設計。一旦迷失了目標，再精彩的教學過程也會顯得暗淡無光，一旦迷失了目標，教學容量越大，對學生的傷害也越大。

三、改進建議

1．教學目標

（1）知識與技能：從“數”和“形”兩個角度體會一次函數與二元一次方程及二元一次方程組之間的聯系；了解借助一次函數圖象求解二元一次方程組的意義和不足。

（2）過程與方法：經歷借助一次函數圖象探究二元一次方程組解存在情況的過程，進一步體會數形結合思想，了解圖象法的價值，感受“觀察”也是學習數學的一種方法；在探索一次函數與二元一次方程及二元一次方程組之間關系的過程中，學會獨立思考與合作探究，體會數學知識間的普遍聯系。

（3）情感、態度與價值觀：在學習過程中感受數學知識中蘊涵的體系上的完整美、數與形的對應美；在探究過程中感受發現真知的喜悅，體驗成功的樂趣。

2．教學重點

體會一次函數與二元一次方程及二元一次方程組之間的關系。

3．教學難點

從“數”和“形”兩個角度去探索一次函數與二元一次方程及二元一次方程組之間的關系。