從曲邊梯形面積到曲邊梯形周長(zhǎng)

李宇軒

摘要：定積分常被用于求解曲邊梯形的面積，但是常與面積同時(shí)稱道的周長(zhǎng)應(yīng)該如何求解呢？本文通過定積分求解面積中無限細(xì)分的思想，對(duì)周長(zhǎng)中的曲邊運(yùn)用同樣的思維方式，進(jìn)行無限細(xì)分，計(jì)算出每一小段的長(zhǎng)度，再對(duì)曲線長(zhǎng)度積分，從而得出曲邊梯形的周長(zhǎng)公式。

關(guān)鍵詞：定積分；曲邊梯形；周長(zhǎng)

一、前言

定積分可以用來計(jì)算平面直角坐標(biāo)系Oxy中，由曲線y=f（x）與直線x=a，x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值）。而對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的曲線來說，其圍成的曲邊梯形的周長(zhǎng)和面積都值得研究與思考。本文將研究利用定積分來求解曲邊梯形周長(zhǎng)的方法。

二、定積分

1、定積分的數(shù)學(xué)定義。如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)xi將區(qū)間[a，b]分為n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn)ζi（i=1，2，3，…，n），作和式f（ζi）+…+（ζn），當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，上述和式無限趨近于某個(gè)常數(shù)A，這個(gè)常數(shù)叫做y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作

其中，a與b叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f（x）叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式.

2、定積分的幾何意義。在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，由曲線y=f（x）與直線x=a，x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積（一種確定的實(shí)數(shù)值）被稱為定積分的幾何意義。

三、定積分求曲邊梯形的周長(zhǎng)

首先我們整理一下定積分求曲邊梯形面積的方法，然后通過相同的思路對(duì)曲邊梯形的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。

1、定積分求曲邊梯形面積。

如圖，我們需要計(jì)算的是曲邊梯形的面積S。

（2）函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，[a，b]∈D，且f（x）在[a，b]上是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。

四、結(jié)語

通過定積分求解曲邊梯形面積無限細(xì)分的思想，我們同樣地可以去思考求解曲邊體型的周長(zhǎng)，得知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，由曲線y=f（x）與直線x=a，x=b以及軸圍成的曲邊梯形的周長(zhǎng)為：

參考文獻(xiàn)

[1] 伍勝健.《數(shù)學(xué)分析》（第二冊(cè)）[M].北京大學(xué)出版社，2010：1-9.

[2] 袁長(zhǎng)江，王雯.“曲邊梯形的面積”的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008，（10）：19-22.endprint