高中數學導數應用解題技巧

河北省臨城實驗中學 郝子翔

導數在高等數學中占有極其重要的地位，也是研究函數、解決實際問題非常有力的工具。在高中階段，導數的學習主要集中于以下三個方面。下面我對應用導數談一些自己的看法，希望和大家共同進步。

一、注重基礎知識的應用

在導數基礎部分，我們要先記憶并理解相關的概念，熟練掌握導數求取函數的極值和最值的方法，并了解一些函數的求導公式及運算法則。要想正確求導，需做好以下兩點：①熟練掌握運用初等函數求導公式、求導法則，還有復合函數的求導法則；②要解一個復合函數，要能夠理清其中的復合關系，搞懂各個分解函數都分別對應哪個變量來求導。因此，在解題過程中，大家一定要搞懂基礎的知識，然后再進行知識的拓展。

例1 已知f（x）為偶函數，當x＜0時，f（x）=ln(-x)+3x，則曲線y=f（x）在點(1，-3)處的切線方程是_____。

分析：本題主要考查導數的運用：求切線的方程，同時考查函數的奇偶性的定義和運用，考查運算能力。

由偶函數的定義可得f（-x）=f（x），即有x＞0時，f（x）=lnx-3x，求出導數，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程。

例2 已知a為函數f（x）=x3-12x的極小值點，則a=_____。

分析：本題考查了函數的導數和極值問題。

由題意得f'(x)=3x2-12=3（x+2）（x-2），令f'(x)=0，得x=-2或x=2，故f（x）在（-2，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，故f（x）的極小值為f（2），所以a=2。

這道題是一道較為簡單的試題，只需要根據定義耐心運算，就能得到問題的答案。

二、重點掌握與其他知識的交匯融合

在高考試題中，導數會與數列、不等式等內容結合，加大考試的難度。不等式是高考中的熱點和難點，導數一旦與不等式結合，就意味著題目的綜合性會非常強。運用導數證明不等式，就要聯系函數與不等式，然后進行等價變形，構造出目標函數，利用求導公式來求取函數的單調性，最終將不等式問題轉換為函數問題。導數與數列問題的結合也是一樣的思路。因此在學習過程中，我們需要歸納總結相關的解題技巧，以便在考試中正常發揮自己的水平。

例3 設n屬于是曲線在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標。

（1）求數列{xn}的通項公式；

分析：本題主要考查曲線的切線方程、數列的通項公式和放縮法證明不等式。本題經常會出現求導錯誤，不會聯系導數和曲線之間的關系，證明不等式成立時，不能適當地放縮不等式。

本道試題難度較大，需要我們仔細分析，通過適當放縮不等式才能正確解答。

三、重視導數的實際應用

在現實生活中，導數也有很廣闊的應用前景，在此背景下，高考試題愈加重視對生活中導數實際應用問題的考查，如優化問題、成本問題、最短路徑等等，解決這些問題時運用導數求解會非常方便。解決生活問題，需要經歷以下幾個步驟：仔細審題，構建數學模型→設置合理的函數變量→列出相應的關系式→解出問題的解→檢驗結果是否符合問題的實際意義。

例4 某工廠生產一種產品，它的成本為A，產量為m，成本與產量間的關系式為A=100+4m，售價為c，售價與產量的關系式為求產量m為_____時，工廠所獲取的利潤值L最大。

分析：利潤L為收入R減去成本A，而收入R則是產量和價格的乘積，由此可得出利潤與產量之間的關系式，再利用導數求取答案。

∵成本A與產量m的函數關系式為A=100+4m，價格c與產量m的函數關系式為

公式對應的拋物線開口向下，求導得當m=84時，利潤L值最大。

通過上述分析，我們要從題干中抽象得到數學知識，然后列出相應的表達式，再進行求導，得到問題的答案。

總之，我們在學習中要高度重視導數部分的內容，加大復習的力度，總結解題的技巧，從而在考場上能夠自信面對導數難題。

[1]曹建峰．高中數學解題中導數的妙用[J]．文理導航（中旬），2014（04）．

[2]韋洲．導數在高中數學解題中的運用[J]．新課程（中學），2014（10）．