一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

四川省資陽(yáng)市雁江區(qū)第二中學(xué) 肖學(xué)兵

一、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的研究意義

針對(duì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)限定其為了解的知識(shí)，但是隨著學(xué)生不斷深入地學(xué)習(xí)，很多數(shù)學(xué)內(nèi)其具有的邏輯知識(shí)能夠全面提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，能夠幫助學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，建立邏輯思維能力，特別是一元二次方程的根x1，x2…xn與系數(shù) a0，a1…an之間的數(shù)量關(guān)系，又因?yàn)槠涫琼f達(dá)定理在 n=2 時(shí)的特例，所以，通過(guò)學(xué)習(xí)和掌握簡(jiǎn)單的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)韋達(dá)定理的幫助不言而喻。

教師在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，通過(guò)加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，能夠使其更加靈活地解決許多問(wèn)題，特別是初中階段的數(shù)學(xué)是對(duì)高中數(shù)學(xué)的遞進(jìn)。針對(duì)一元二次方程的學(xué)習(xí)，要深入探究根與系數(shù)的關(guān)系，掌握好這個(gè)內(nèi)容，才能更好地解決相關(guān)問(wèn)題，使得學(xué)生的解題思路更加靈活，能夠使得學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)。一元二次方程知識(shí)的部分內(nèi)容是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，有著承上啟下的作用。因此，教師要重視教育教學(xué)工作，更應(yīng)該倍加重視“根”與“系數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系，將“根”與“系數(shù)”的知識(shí)進(jìn)行拓展，深入研究好相關(guān)知識(shí)，才能促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)能力的提升。

二、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，雖然一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是選學(xué)的內(nèi)容，但是很多知識(shí)點(diǎn)頻繁出現(xiàn)，很多該部分的知識(shí)點(diǎn)在競(jìng)賽及中考題中頻繁出現(xiàn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中很多內(nèi)容涉及該題目，但是由于學(xué)生在解題的過(guò)程中難以理解很多隱藏條件，使得學(xué)生的解題思路閉塞，或者解題方法出現(xiàn)傳統(tǒng)模式的局限，學(xué)生的解題思路不夠明確。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系能夠廣泛地拓寬學(xué)生的思路，根據(jù)已經(jīng)知道的一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根及未知系數(shù)，構(gòu)造兩個(gè)實(shí)數(shù)為根的一元二次方程，不解方程而判斷兩根的性質(zhì)，解決有關(guān)綜合問(wèn)題等。

研究一元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為 x1，x2，那么，通過(guò)對(duì)該公式的了解以及一元二次方程根的判別式，逐步構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，注意討論二次項(xiàng)的系數(shù)，本文就列舉了以下作為實(shí)際應(yīng)用案例，例如：已知實(shí)數(shù) x、y、z 滿足（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，求證：x+y=2z 。該題的解析如下：根據(jù)題設(shè)內(nèi)容，如（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 的左邊，再與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac比較，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于 m 的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0，該方程的 =b2-4ac=（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以這個(gè)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)y-z≠0 時(shí)，因?yàn)橐辉畏匠痰母黜?xiàng)系數(shù)之和為零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 的根 m1= m2=1，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：∴x+y=2z ，運(yùn)算分析后當(dāng)y-z=0 時(shí)，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得 x=y， ∴ x+y=2z 。

本題的解題方法是根據(jù)題設(shè)條件和一元二次方程根的判別式=b2-4ac，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的一元二次方程：（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0； 第一個(gè)解是當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù) y-z=0 時(shí)，把 y=z 代入（x-y）2-4（y-z）（z-x）=0 得：x=y，∴ x=y=z， ∴ x+y=2z 。第二個(gè)解是當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù) y-z≠0 時(shí)，因?yàn)橐辉畏匠痰母黜?xiàng)系數(shù)之和為零，即（y-z）+（x-y）+（z-x）=0，所以，一元二次方程（y-z）m2+（x-y）m+（z-x）=0 必有一根為 1，又因?yàn)檫@個(gè)一元二次方程根的判別式 =b2-4ac= （x-y）2-4（y-z）（z-x）=0，所以這個(gè)一元二次方程的根 m1= m2=1，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知m1m2=1，即

這類(lèi)問(wèn)題中的題設(shè)條件與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac 的形式相同，解答時(shí)，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的一元二次方程，但需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。

綜上所述，可以看出一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)，需要學(xué)生在不斷地應(yīng)用過(guò)程中靈活掌握，注重解題思路的靈活性，注重針對(duì)該部分知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生全面的邏輯思維能力。教師在此過(guò)程中要注重考慮學(xué)生的主體性，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生參與解題，以提高學(xué) 生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。希望教育工作者引起對(duì)該課程內(nèi)容的重視，不斷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入的探討和研究，從而促進(jìn)課程改革的順利進(jìn)行。

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