高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧教學(xué)

云南省廣南縣第二中學(xué)校 王家恒

在高考試題中，不等式經(jīng)常與數(shù)列或?qū)?shù)以最后壓軸大題的形式出現(xiàn)，這就導(dǎo)致學(xué)生在心理上對(duì)不等式內(nèi)容產(chǎn)生畏懼，同時(shí)在填空和選擇題中，也會(huì)占據(jù)不小的比例。有鑒于此，有效提升學(xué)生的不等式解題水平，就成為廣大數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。

一、求函數(shù)的極值

基本不等式在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著極其重要的地位，試題考查形式靈活多變，公式能夠搭建起和與積之間聯(lián)系的“橋梁”，但是在考試過程中，學(xué)生卻因?yàn)楹雎粤瞬坏仁匠闪⒌臈l件或不會(huì)運(yùn)用相關(guān)的技巧構(gòu)造基本不等式，從而出現(xiàn)嚴(yán)重的失分現(xiàn)象。教師在授課中應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生通過拆、拼、湊等技巧來構(gòu)造基本不等式，最終求出正確的答案。

例1：（1）已知求函數(shù)f(x)=2x-1+的最大值。

解析：由題意可知，2x-3＜0，那么就需要調(diào)整不等式的符號(hào)，不是不等式，故而需要對(duì)2x-1進(jìn)行拼湊，得到相關(guān)的定值。

（2）求的值域。

解析：乍一看，本題似乎無法運(yùn)用均值不等式，但是仔細(xì)分析，我們不妨將分子項(xiàng)進(jìn)行配方，從而求出含有（x+1）的項(xiàng)，最后再利用基本不等式進(jìn)行求解。這道題就是使用了構(gòu)造基本不等式的技巧，教師需要指導(dǎo)學(xué)生“湊”出不等式，求出最后的正確答案。

二、含參數(shù)不等式的解法

在參數(shù)不等式部分，將數(shù)換成字母，就會(huì)加大試題的考查難度，在此情況下，學(xué)生需要根據(jù)參數(shù)來進(jìn)行分組討論，從而解答不等式。在講授此類題目時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的分類觀念，使他們按照分類的思路來解決數(shù)學(xué)問題，幫助其在分組討論時(shí)做到不重、不漏，牢牢拿住該拿的分?jǐn)?shù)。需要注意的是，不等式解集要按照參數(shù)來分類寫出，不能夠進(jìn)行相應(yīng)的合并。

例2：（1）解關(guān)于x的不等式：x2-（a+a2）+a3＞0（a∈R）

分析：不等式可以化為（x-a）（x-a2）＞0，則在不等式解集中應(yīng)當(dāng)分類討論a與a2哪個(gè)大。

①當(dāng)a=0或1時(shí)，存在a=a2；

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，存在a2＜a；

③當(dāng)a＜0，a＞1時(shí)，存在a2＞a。

（2）解關(guān)于x的不等式：|x2+2x-3|＞a。

學(xué)生做題時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤：| x2+2x-3|＞a可化為x2+2x-3＞a或x2+2x-3＜-a。

當(dāng)x2+2x-3＞a時(shí)，解得x＞-1+

當(dāng)x2+2x-3＜-a時(shí)，解得

在本題中，學(xué)生并沒有對(duì)a進(jìn)行討論，從而陷入了思維的混亂狀態(tài)。對(duì)于絕對(duì)值不等式，在去掉絕對(duì)值符號(hào)后，由于a為參數(shù)，因此必須對(duì)a進(jìn)行分類討論，學(xué)生需要考慮到0≤a＜4和a≥4兩種情況。

（3）解關(guān)于x的不等式ax2+2x+1＞0（a∈R）。

在解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，需要優(yōu)先討論二次項(xiàng)系數(shù)，然后再對(duì)“?”進(jìn)行討論。如果有必要的話，還要對(duì)根進(jìn)行大小的對(duì)比。含參數(shù)的一元二次不等式與不含參數(shù)的一元二次不等式的解題過程實(shí)質(zhì)是一樣的，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、一元二次不等式分類討論。

三、線性規(guī)劃問題中的不等式解法

不等式與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合中，最容易出現(xiàn)的就是與線性規(guī)劃相結(jié)合的試題，這類題型的知識(shí)點(diǎn)多，其中出現(xiàn)頻率最高的是求解函數(shù)最值。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要完全掌握這部分的知識(shí)，保證拿到綜合題的分?jǐn)?shù)。

例3：某機(jī)械類工廠總共生產(chǎn)A種和B種產(chǎn)品，分別需要甲、乙兩種鋼鐵材料，制造一件A需要鋼鐵甲1.5kg，鋼鐵乙1kg，總計(jì)10個(gè)工時(shí)；制造一件B需要鋼鐵甲0.5kg，鋼鐵乙0.3kg，總計(jì)6個(gè)工時(shí)；制造一件A的純利潤為700元，制造一件B的純利潤為300元。現(xiàn)在該工廠有甲種鋼1.5噸，乙種鋼0.9噸，則在3000工時(shí)之內(nèi)，品種A和品種B的利潤之和的最大值為_____。

這道題需要學(xué)生列出以下公式：設(shè)制造品種A為x件，制造品種B為y件：

①1.5x+0.5y=1500（制造品種A、B消耗甲材料）；

②x+0.3y=900（制造品種A、B消耗乙材料）；

③5x+3y≤3000（制造品種A、B總時(shí)間不超過3000工時(shí)）。

通過聯(lián)立方程，學(xué)生解答出最終正確的答案，深入掌握解題的方法。不等式的應(yīng)用題在高中試題中非常常見，教師要總結(jié)出一般的解題思路，在一般的基礎(chǔ)上再進(jìn)行問題的解答，為獲取考試的高分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總之，不等式的運(yùn)用需要學(xué)生在理解之后，在深入掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，針對(duì)學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)的地方，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真整理常見的錯(cuò)誤，使每個(gè)人都能掌握解題技巧，從而正確、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來解答數(shù)學(xué)問題。

[1]陳超.高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2016（05）.

[2]錢煜.給予高考試題的高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)研究[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中數(shù)學(xué)教學(xué)），2014（12）.